求函数y=(cosx)^2*sinx(x∈(0,π/2])的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 21:00:06
求函数y=(cosx)^2*sinx(x∈(0,π/2])的最大值.
求函数y=(cosx)^2*sinx(x∈(0,π/2])的最大值.
求函数y=(cosx)^2*sinx(x∈(0,π/2])的最大值.
令a=cosx,b=sinx,则a,b为正数,且a^2+b^2=1
y=a^2*b=(1-b^2)b=b-b^3
y'=1-3b^2=0,得极值点b=1/√3
此为极大值点.y(1/√3)=1/√3-1/(3√3)=2/(3√3)
端点值y(0)=0,y(1)=0,
故最大值为2/(3√3).
x∈(0，π/2]，sin²x、cos²x∈(0，1)
y²=(cos²x)²×(sin²x)=(1/2)×【(cos²x)×(cos²x)×(2sin²x)】
而：cos²x＋cos²x＋2sin²x=2=常数，则：
(cos²x)×(cos&...
全部展开
x∈(0，π/2]，sin²x、cos²x∈(0，1)
y²=(cos²x)²×(sin²x)=(1/2)×【(cos²x)×(cos²x)×(2sin²x)】
而：cos²x＋cos²x＋2sin²x=2=常数，则：
(cos²x)×(cos²x)×(sin²x)有最大值，且当cos²x=cos²x=2sin²x时取等号，其最大值是当cos²x=2/3、sin²x=1/3时取得的：y(max)=(2√3)/9
收起
y=(1-(sinx)^2)*sinx=sinx-(sinx)^3
y'=cosx-3*(sinx)^2*cosx=cosx*(1-3*(sinx)^2)
令y'=0,即cosx*(1-3*(sinx)^2)=0,
1-3*(sinx)^2=0
(sinx)^2=1/3
sinx=1/√3 ,x∈(0,π/2]
所以 最大值y=(1-1/3)*1/√3 =2/3√3