在抛物线y²＝4x上求点p,使得点p到直线y＝x＋3的距离最短

在抛物线y²＝4x上求点p,使得点p到直线y＝x＋3的距离最短
在抛物线y²＝4x上求点p,使得点p到直线y＝x＋3的距离最短

在抛物线y²＝4x上求点p,使得点p到直线y＝x＋3的距离最短
平移y=x+3至直线y=x+m的位置
此时直线y=x+m与抛物线只有一个交点,这个交点即为所求
求这个交点：
将y=x+m代入方程：y的平方=4x
得（x+m）^2=4x
化简成一元二次方程,令跟的判别式=0,得m=1
将m=1代入（x+m）^2=4x
解得x=1,代入y的平方=4x
得y=2
所以点为(1,2)

假设这一点坐标为P（a^2/4,a)

  过P做直线  垂直于Y=X+3

  假设直线的解析式为y=-x+n
  代入P点，则n=a^2/4+a
  即y=-x+a^2/4+a
  于y=x+3交点为

  解方程组得到
  交点为  [（a^2/4+a-3)/2 ,(a^2/4+a+3)/2]

  则距离的平方为
 
  [a^2/4-（a^2/4+a-3)/2]^2+[a-(a^2/4+a+3)/2]^2
=(a^2/4-a+3)^2/2

令其取最小值，即y=a^2/4-a+3  取最小值

y=a^2/4-a+3
y=1/4(a-2)^2+2

当a=2时，为最小值

则P点坐标为 （ a^2/4,a   ）

P（1,2)