如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 21:30:28
如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.
如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.
如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.
高手一眼就可知E,D,C,B四点共圆.再证三角形APD相似三角形ABF,三角形AED相似三角形ABC那就简单多了.
证明:设BD交EC为G,因为三角形EGB相似三角形DGC,即角EBD=角DCE,所以EG/DG=BG/GC,又角EGD=角BGC,所以三角形EGD相似三角形BGC,所以角EDB=角ECB,角DEC=角DBC,所以角BED+角DCB=角BED+角EBD+角EDC=180度(因为角DCB=角DCE+角ECB=角EBC+角EDB),所以E,D,C,B四点共圆.
1、先证三角形APD相似三角形ABF
因为角ADE=角DCE+角DEC,又角DEC=角DBC,角DCE=角EBD(四点共圆,同一条弦所对的圆周角相等.),所以角ADE=角EBD+角DBC=角ABC,而角BAF=角FAC,所以这两个三角形相似,
所以AP/AF=AD/AB
2、再证三角形AED相似三角形ABC
因为角AED=角EBD+角EDB,而角EBD=角DCE,角EDB=角ECB,(都是四点共圆惹的祸),所以角AED=角DCE+角ECB=角ACB,又角BAC是公共角,所以两三角形相似,所以AD/AB=DE/BC
综合1和2得:DE/BC=AP/AF
∵∠BAD=∠CAE,∠ADB=∠AEC=90
∴△ADB∽△AEC
∴AD/AE=AB/AC
∴△ADE∽△ABC
∴∠AEP=∠ACF,DE/BC=AE/AC ①
∴∠PAE=∠FAC
∴△PAE∽△FAC
∴AE/AC=AP/AF ②
由①②得DE:BC=AP:AF
收起