已知圆O过点D（4,3）,点H与D关于y轴对称,过H作圆O的切线交y轴与点A（如图1）.（1）求圆O直径（2）求sin∠HAO的值（3）如图2,设圆O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合）,连
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/29 03:00:46
已知圆O过点D（4,3）,点H与D关于y轴对称,过H作圆O的切线交y轴与点A（如图1）.（1）求圆O直径（2）求sin∠HAO的值（3）如图2,设圆O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合）,连
已知圆O过点D（4,3）,点H与D关于y轴对称,过H作圆O的切线交y轴与点A（如图1）.
（1）求圆O直径
（2）求sin∠HAO的值
（3）如图2,设圆O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合）,连接并延长DE、DF交圆O于点B、C,直线BC交y轴于点G,若△DEF是以EF为底旳等腰三角形,试探索sin∠CGO的大小怎样变化?请说明理由.
已知圆O过点D（4,3）,点H与D关于y轴对称,过H作圆O的切线交y轴与点A（如图1）.（1）求圆O直径（2）求sin∠HAO的值（3）如图2,设圆O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合）,连
第（1）题解法：
因为点D（4,3）在圆O上,所以圆O的半径 .
第（2）题典型解法：
解法1：如图1,连结DH交y轴于Q,连结OH.
因为HA是圆O的切线,D与H关于y轴对称,
所以OH⊥HA,HQ⊥OA,
即点H的坐标为（－4,3）
由 ,得
所以
解法2：同解法1,知
OH⊥HA,HQ⊥OA
即点H的坐标为（－4,3）
∠HAO=∠OHQ
所 .
解法3：连结OH,过点H作HM⊥x轴于点M,
因为D与H关于y轴对称,
所以点H的坐标为（－4,3）
又因为HA是圆O的切线,
所以OH⊥HA
∠HAO=∠HOM
所以 .
解法4 记直线HA交x轴于K,连结OH,过点H作HM⊥x轴于点M,
由题意易得,
,（具体方法见解法1）
同理可得
所以
故 .
第（3）题典型解法：
解法1：连结DH交y轴于点Q,连结OH交BC于点T（如图2）.
因为D与H关于y轴对称,
所以DH⊥EF,
又因为△DEF为等腰三角形,
所以DH平分∠BDC,
故OT⊥BC
所以∠CGO=∠QHO,
因此,
即当E、F两点在OP上运动时, 的值不变.
解法2：如图2,作点D关于x轴的对称点D’.
由圆的对称性可得D’在圆O上.
连结CD’,则
轴,
所以∠EFD=∠CDD’
因为△DEF为等腰三角形,
所以 ,∠FED=∠EFD
因为∠BEG=∠FED
所以∠BEG=∠CDD’
又因为B、D、C、D’在圆O上
所以∠GBE=∠D’
∠CGO=180°―∠GBE―∠BEG
=180°―∠D’―∠CDD’
=∠DCD’
因为D、D’是圆上的两个固定的点,
所以∠DCD’的角度大小不变,
因此,当E、F两点在OP上运动时, 的值不变.
解法3：连结DH交y轴于点Q,连结OH交BC于点T（如图3）.
由题意易得OT⊥BC
OH⊥HA
所以BC//HA
即∠CGO=∠HAO
所以
因此,当E、F两点在OP上运动时, 的值不变.
图3
解法4：在OP上另取两点 ,连结 ,使△ 为等腰三角形,并延长 交圆O于 ,作直线 交y轴于 （如图4）.
图4
因为
所以∠DEF=∠DFE,∠DE’F’=∠DF’E’
即∠E’DE=∠DE’F’－∠DEF
=∠DF’E’－∠DFE=∠F’DF
所以 , ,
即
故当E、F两点在OP上运动时,sinCGO的值不变.
解法5：如图5,连结DO,并延长交圆O于N,连结BN.
图5
因为DN是圆O的直径,
所以∠DBN=90°
连结DH.
因为D与H关于y轴对称,
所以DH⊥EF,
又因为△DEF为等腰三角形,
所以 , ,
又因为 CBD= CGO+ BEG,
所以
所以
即 ,
所以
因此,当E、F两点在OP上运动时,sinCGO的值不变.