在正方形ABCD中,P是BD上一点,过P引PE垂直BC交BC于E,过P引PF垂直CD于F,求证：AP垂直EF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 17:44:40
在正方形ABCD中,P是BD上一点,过P引PE垂直BC交BC于E,过P引PF垂直CD于F,求证：AP垂直EF
在正方形ABCD中,P是BD上一点,过P引PE垂直BC交BC于E,过P引PF垂直CD于F,求证：AP垂直EF
在正方形ABCD中,P是BD上一点,过P引PE垂直BC交BC于E,过P引PF垂直CD于F,求证：AP垂直EF
证明：
延长FP交AB于点G,得正方形BEPG,连PC,
所以∠AGP=∠GPE=90,PE=PG=BG,
所以AB-BG=FG-PF
即AG=FP
在矩形PEFC中,对角线PC=EF,
因为P是正方形ABCD的对角线上的点,
所以AP=PC,
所以AP=EF
所以△APG≌△FEP(SSS)
所以∠APG=∠FEF,
因为∠EPG=90,
所以∠APG+∠EPH=90,
所以∠PEH∠EPH=90
即AP⊥EF
过P做PM垂直于AD，PN垂直于AB
显然PN=PE, PM=PF
所以tan角PAD=tan角EFC
即角PAD=角EFC
所以角AHF=360-(角PAD+90+180-角EFC)
=90
即AP垂直EFPN=PE, PM=PF 为什么？三角形PNB全等于三角形PEB全等的条件呢？角NBP=角EBP PB=PB 角PB...
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过P做PM垂直于AD，PN垂直于AB
显然PN=PE, PM=PF
所以tan角PAD=tan角EFC
即角PAD=角EFC
所以角AHF=360-(角PAD+90+180-角EFC)
=90
即AP垂直EF
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证明:延长FP,交AB于M.
∵PF⊥CD,PE⊥BC,∠FCE=90°.
∴PM⊥AB;四边形PECF为矩形.
连接PC,则⊿PFE≌⊿EPC,∠PFE=∠ECP.
点A和C关于BD对称(或⊿ABP≌⊿CBP),则∠MAP=∠ECP.
∴∠MAP=∠PFE;又∠APM=∠FPH(对顶角相等)
∴∠PHF=∠PMA=90度.(三角形内角和定理)
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证明:延长FP,交AB于M.
∵PF⊥CD,PE⊥BC,∠FCE=90°.
∴PM⊥AB;四边形PECF为矩形.
连接PC,则⊿PFE≌⊿EPC,∠PFE=∠ECP.
点A和C关于BD对称(或⊿ABP≌⊿CBP),则∠MAP=∠ECP.
∴∠MAP=∠PFE;又∠APM=∠FPH(对顶角相等)
∴∠PHF=∠PMA=90度.(三角形内角和定理)
故AP垂直EF.
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