矩阵A (A-aI)(A-bI)=0 证明A可对角化(A-aI)(A-bI)=0 I是n*n的单位矩阵（1）证明A的特征值只可能是a或者b（2）证明A可对角化
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 18:19:26
矩阵A (A-aI)(A-bI)=0 证明A可对角化(A-aI)(A-bI)=0 I是n*n的单位矩阵（1）证明A的特征值只可能是a或者b（2）证明A可对角化
矩阵A (A-aI)(A-bI)=0 证明A可对角化
(A-aI)(A-bI)=0 I是n*n的单位矩阵
（1）证明A的特征值只可能是a或者b
（2）证明A可对角化
矩阵A (A-aI)(A-bI)=0 证明A可对角化(A-aI)(A-bI)=0 I是n*n的单位矩阵（1）证明A的特征值只可能是a或者b（2）证明A可对角化
这是个与矩阵的特征值,对角化,矩阵的秩有关的综合题目
用到多个知识点,好题!
证明:(1) (A-aI)(A-bI)=A^2-(a+b)A+abI
若λ是A的特征值
则 λ^2-(a+b)λ+ab 是 A^2-(a+b)A+abI 的特征值 --知识点1.
而 A^2-(a+b)A+abI = 0,零矩阵的特征值只能是0 --知识点2.
所以 λ^2-(a+b)λ+ab=0.
所以 (λ-a)(λ-b)=0
所以 λ=a 或 λ=b.
即A的特征值只可能是a或者b.
(2) 因为 (A-aI)(A-bI)=0
所以 r(A-aI)+r(A-bI)
设c是A的一个特征值，对应的特征向量是x，则0=9A-aI)(A-bI)x=(A-aI)(cx-bx)=(c-b)(cx-ax)=(c-b)(c-a)x，故必有c=b或c=a；
第二问要求a不等于b。n=r（(b-a)I）小于等于r(A-aI)+r(bI-A)=r(A-aI)+r(A-bI)。另一方面，由条件知A-bI的秩不会超过(A-aI)x=0的基础解系的秩，即r(A-bI)小于等于n...
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设c是A的一个特征值，对应的特征向量是x，则0=9A-aI)(A-bI)x=(A-aI)(cx-bx)=(c-b)(cx-ax)=(c-b)(c-a)x，故必有c=b或c=a；
第二问要求a不等于b。n=r（(b-a)I）小于等于r(A-aI)+r(bI-A)=r(A-aI)+r(A-bI)。另一方面，由条件知A-bI的秩不会超过(A-aI)x=0的基础解系的秩，即r(A-bI)小于等于n-r(A-aI)。两者结合知r(A-aI)+r(A-bI)=n。因此，(A-aI)x=0的基础解系（就是属于a的线性无关的特征向量）的个数为n-r(A-aI)=r(A-bI)，同理，属于b的线性无关的特征向量的个数为r(A-aI)，A有r(A-aI)+r(A-bI)=n个线性无关的特征向量，故A可对角化。
若a=b，比如A=【0 1；0 0】取a=b=0满足题设，但A不可对角化
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