如何证明函数y=x^3+ax^2+bx+c是中心对称图形?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 21:24:31
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如何证明函数y=x^3+ax^2+bx+c是中心对称图形?
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如何证明函数y=x^3+ax^2+bx+c是中心对称图形?
设f(x) = x³+ax²+bx+c.
可以证明(-a/3,f(-a/3))是图形的对称中心.
实际上, f(-a/3-x)+f(-a/3+x)
= (-a/3-x)³+(-a/3+x)³+a((-a/3-x)²+(-a/3+x)²)+b((-a/3-x)+(-a/3+x))+2c
= 2(-a/3)³+6(-a/3)x²+2a((-a/3)²+x²)+2b(-a/3)+2c
= 2((-a/3)³+a(-a/3)²+b(-a/3)+c)
= 2f(-a/3).
即(-a/3-x,f(-a/3-x))与(-a/3+x,f(-a/3+x))关于(-a/3,f(-a/3))中心对称.

中性对称图形的特点是，将x变为-x，则y变为-y，也就是说

-y=(-x)^3+a(-x)^2+b(-x)+c=-(x^3+ax^2+bx+c)

显然这个式子要成立的话, a=0, c=0

所以a=0，且c=0的情况下这个函数是中心对称图形。

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