费马点到三角形顶点的平方和三角形ABC内部一点P请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!(已知三角形三边长为a,b,c)那个点可能不是费马点,反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!lirestreamyy 注意我给的条件,不

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 10:12:33
费马点到三角形顶点的平方和三角形ABC内部一点P请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!(已知三角形三边长为a,b,c)那个点可能不是费马点,反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!lir

费马点到三角形顶点的平方和三角形ABC内部一点P请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!(已知三角形三边长为a,b,c)那个点可能不是费马点,反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!lirestreamyy 注意我给的条件,不
费马点到三角形顶点的平方和
三角形ABC内部一点P
请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!
(已知三角形三边长为a,b,c)
那个点可能不是费马点,反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!
lirestreamyy 注意我给的条件,不是坐标,是边长!

费马点到三角形顶点的平方和三角形ABC内部一点P请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!(已知三角形三边长为a,b,c)那个点可能不是费马点,反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!lirestreamyy 注意我给的条件,不
点P到三角形顶点平方和的最小,
所以,点P是三角形的重心.
证明我就不证了,利用坐标法,可以证明.
下面用a、b、c表示这个平方和:
重心到顶点的距离=中线的2/3,因此,只需算出中线长度即可.
以求BC边上的中线AD为例
在三角形ABC中,由余弦定理,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
在三角形ABD中,再利用余弦定理
AD^2=c^2+(a/2)^2-2c*(a/2)cosB=(b^2+c^2)/2-a^2/4
所以,PA^2=(2/3AD)^2=4/9AD^2=(2b^2+2c^2-a^2)/9
同理,PB^2=(2a^2+2c^2-b^2)/9
PC^2=(2a^2+2b^2-c^2)/9
PA^2+PB^2+PC^2=(a^2+b^2+c^2)/3

点是三角形ABC的重心,即是三边中线的交点,重心到三边距离的平方和最小
证明:
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为(x,y),则该点到三顶点距离平方和为:
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^...

全部展开

点是三角形ABC的重心,即是三边中线的交点,重心到三边距离的平方和最小
证明:
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为(x,y),则该点到三顶点距离平方和为:
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时上式取得最小值
最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

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P为三角形外接圆圆心,值自己算吧!

在三角形ABC内求一点P,使向量AP,BP,CP的平方和最小 已知三角形ABC,在三角形ABC内做一点P,使它到三角形ABC三个顶点的距离相等 求三角形的重心到三个顶点距离的平方和 在三角形ABC内有100个点,以三角形的顶点和这100点为顶点,可把三角形分成几个三角形 三角形ABC内有100个点,以三角形的顶点和这100点为顶点,可把三角形剖分成多少个小三角形?这这题咋做?QAQ 在三角形ABC内有100个点,以三角形的顶点和这100点为顶点,可把三角形割分成多少个三角形?谢 已知A(1,0)B(-1,4)C(-2,2),在三角形ABC所在平面内求一点P,使p到三顶点的距离平方和最小并求最小值 如图三角形ABC的顶点 在三角形ABC中,AC=BC>AB,点P为三角形ABC所在平面内一点,且点P与三角形ABC的任意两个顶点构成三角形PAB,在三角形ABC中,AC=BC>AB,点P为三角形ABC所在平面内一点,且点P与三角形ABC的任意两个顶点 设P点是三角形ABC内一点,求:P到三角形ABC三顶点的距离和三角形周长之比的取值范围 一只蚂蚁在三角形ABC内部爬,当它爬到哪里时,蚂蚁到三个顶点的距离的平方和最短 证明 若三角形三个内角正弦的平方和小于2,则三角形ABC是钝角三角形 为什么三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点还有为什么三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点.,它们都如何证明那第二个呢?为什么三角形的重心是三角形内到 如图,在三角形ABC中,AC=BC>AB,点P为三角形ABC所在平面内一点,且点P与三角形ABC的如图,在三角形ABC中,AC=BC>AB,点P为三角形ABC所在平面内一点,且点P与三角形ABC的任意两个顶点构成三角形PAB,三角 在三角形ABC中,边C=10,cosA/cosB=b/a=4/3,P为三角形ABC内切圆上的动点,求P到顶点A、B、C的距离平方和最小值. 如何证明重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点? 如何求证三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点求证三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点.求救 如何证明“三角形的重心到三个顶点的距离平方和最小”这个定理?