在三角形ABC中,AB=AC,角A=36°,角ABC的平分线BD于AC交与D,求证BC=1/2（根号5-1）AB提示：BC=AD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 20:53:23
在三角形ABC中,AB=AC,角A=36°,角ABC的平分线BD于AC交与D,求证BC=1/2（根号5-1）AB提示：BC=AD
在三角形ABC中,AB=AC,角A=36°,角ABC的平分线BD于AC交与D,求证BC=1/2（根号5-1）AB
提示：BC=AD
在三角形ABC中,AB=AC,角A=36°,角ABC的平分线BD于AC交与D,求证BC=1/2（根号5-1）AB提示：BC=AD
证明：∵AB=AC,∠A=36°
∴∠ABC=∠C=72°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC=∠A=36°
∴BD=AD ∠BDC=∠ABD+∠A=72°
∴BD=BC
∵∠C=∠C ∠DBC=∠A
∴△BDC∽△ABC
∴CD:BC=BC:AC
设BC=X,AB=AC=Y,则AD=X,CD=Y-X
∴(Y-X):X=X:Y
X2+XY-Y2=0
解得：X=(√5-1)Y/2
即BC=1/2（根号5-1）AB
证明：作BC上的中点E，连接AE。
∵AB=AC ∠A=36°
∴∠BCE=18°
∵sin18=(√5-1)/4
∴AB:BE=1:(√5-1)/4
∴AB:BC=1:(√5-1)/2
"角ABC的平分线BD于AC交与D"这个条件我没用上，因为我知道sin18=(√5-1)/4。如果我不知道的话，这题我也不会...
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证明：作BC上的中点E，连接AE。
∵AB=AC ∠A=36°
∴∠BCE=18°
∵sin18=(√5-1)/4
∴AB:BE=1:(√5-1)/4
∴AB:BC=1:(√5-1)/2
"角ABC的平分线BD于AC交与D"这个条件我没用上，因为我知道sin18=(√5-1)/4。如果我不知道的话，这题我也不会证明。
收起
容易验证∠A=∠ABD=∠DBC=36
∠C=∠ABC=∠BDC=72
所以BC=BD=AD
而且还有△ABC∽△BDC
所以AB/BD=BC/DC
所以BC^2 = AB*DC = AB(AC-AD) = AB(AB-BC)
BC^2 + AB*BC - AB^2 = 0
BC = (√5 - 1）/2 AB