计算行列式|x -1 0 ...0 0| |0 x -1 ...0 0| |0 0 0 ...x -1| |a0 a1 a2 ...an-1 an-2+x|
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 03:10:26
计算行列式|x -1 0 ...0 0| |0 x -1 ...0 0| |0 0 0 ...x -1| |a0 a1 a2 ...an-1 an-2+x|
计算行列式|x -1 0 ...0 0| |0 x -1 ...0 0| |0 0 0 ...x -1| |a0 a1 a2 ...an-1 an-2+x|
计算行列式|x -1 0 ...0 0| |0 x -1 ...0 0| |0 0 0 ...x -1| |a0 a1 a2 ...an-1 an-2+x|
|x -1 0 ...0 0|
|0 x -1 ...0 0|
|0 0 0 ...x -1|
|a0 a1 a2 ...an-2 an-1+x|
按1列展开=x乘以下面的行列式
|x -1 0 .0 0|
|0 x -1 .0 0|
|0 0 0 ...x -1|
|a1 a2 a3 ...an-2 an-1+x|
加上(-1)^(n+1)a0乘以下面的行列式：
|x -1 0 .0 0|
|0 x -1 .0 0|
.
|0 0 0 ...x -1|
这个行列式的值=(-1)^(n-1)
记原行列式为An,于是有递推公式：
An=a0+xA(n-1)
=a0+x(a1+xA(n-2))
=a0+ a1x+x^2(a2+xA(n-3))
=.
=a0+ a1x+a2x^2+...+a(n-1)x^(n-1)
作变换c1＋xc2＋x＾2c3＋．．．＋x＾ncn＋1行列式等于 0 －1 0 ．．． 0 0 0 x －1 ．．． 0 0 ．．．．．． ．．．．．． ．．．．．．0 0 0 ．．． x －1a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．...
全部展开
作变换c1＋xc2＋x＾2c3＋．．．＋x＾ncn＋1行列式等于 0 －1 0 ．．． 0 0 0 x －1 ．．． 0 0 ．．．．．． ．．．．．． ．．．．．．0 0 0 ．．． x －1a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．＋anx＾n a1 a2 ．． an－1 an按第1列展开8 行列式 ＝ （a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．＋anx＾n）＊（－1）＾（n＋1＋1）＊－1 0 ．．． 0 0 x －1 ．．． 0 0 ．．．．．． 0 0 ．．． x －1 ＝ （a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．＋anx＾n）＊（－1）＾（n＋1＋1）＊（－1）＾n＝ a0＋a1x＋a2x＾2＋．．．＋anx＾n．
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