一些好的初三上册数学的难题

一些好的初三上册数学的难题
一些好的初三上册数学的难题

一些好的初三上册数学的难题
初三数学难题集锦
1．（本小题满分10分）
如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,已知∠D＝30°.
⑴求∠A的度数；
⑵若点F在⊙O上,CF⊥AB,垂足为E,CF＝ ,求图中阴影部分的面积.














2. 先阅读下面材料,然后解答问题：（本小题满分10分）
【材料一】：如图⑴,直线l上有 、 两个点,若在直线l上要确定一点P,且使点P到点 、 的距离之和最小,很明显点P的位置可取在 和 之间的任何地方,此时距离之和为 到 的距离.
如图⑵,直线l上依次有 、 、 三个点,若在直线l上要确定一点P,且使点P到点 、 、 的距离之和最小,不难判断,点P的位置应取在点 处,此时距离之和为 到 的距离. (想一想,这是为什么?)
不难知道,如果直线l上依次有 、 、 、 四个点,同样要确定一点P,使它到各点的距离之和最小,则点P应取在点 和 之间的任何地方；如果直线l上依次有 、 、 、 、 五个点,则相应点P的位置应取在点 的位置.
图⑴
图⑵





【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为 .
【问题一】：若已知直线l上依次有点 、 、 、……、 共25个点,要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在 ；
若已知直线l上依次有点 、 、 、……、 共50个点,要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在 .
【问题二】：现要求 的最小值,
根据问题一的解答思路,可知当x值为 时,上式有最小值为 .

3. （本小题满分10分）
如图①,一条笔直的公路上有A、B、C 三地,B、C 两地相距 150 千米,甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发,沿公路匀速相向而行,分别驶往C、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离 、 （千米）与行驶时间 x（时）的关系如图②所示．










根据图象进行以下探究：
⑴请在图①中标出 A地的位置,并作简要的文字说明；
⑵求图②中M点的坐标,并解释该点的实际意义．
⑶在图②中补全甲车的函数图象,求甲车到 A地的距离 与行驶时间x的函数关系式．
⑷A地设有指挥中心,指挥中心及两车都配有对讲机,两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话,求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．

























4．（本小题满分10分）
已知抛物线 (a≠0)的顶点在直线 上,且过点A(4,0)．
⑴求这个抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标；若不存在,请说明理由.
⑶设点C(1,－3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使 的值最大,请直接写出点D的坐标.












5．（本小题满分12分）
定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
⑴如图1,损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段 .
图1
⑵在线段AC上确定一点P,使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹．









图2
⑶如图2,△ABC中,∠ABC＝90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中心,连结BD,当BD平分∠ABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明理由. 若此时AB＝3,BD＝ ,求BC的长.















6．（本小题满分12分）
已知在梯形ABCD中,AB∥DC,且AB=40cm,AD=BC=20cm,∠ABC=120°．点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动,点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动,当点Q运动到点D时,所有运动都停止. 设运动时间为t秒．
⑴如图1,当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时,求t的值；
⑵在运动过程中,设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围；






























参考答案
1．（本小题满分10分）
⑴连结OC,∵CD切⊙O于点C,∴∠OCD＝90°. ………………………………(1分)
∵∠D＝30°,∴∠COD＝60°. …………………(2分)
∵OA＝OC,∴∠A＝∠ACO＝30°. ………………(4分)
⑵∵CF⊥直径AB, CF＝ ,∴CE＝ ,…………(5分)
∴在Rt△OCE中,OE＝2,OC＝4. ……………………(6分)
∴ , .…………………………(8分)
∴ …………………………………………………(10分)
2. 先阅读下面材料,然后解答问题：（本小题满分10分）
问题一：点 处 …………(3分) 点 和 之间的任何地方 ………(6分)
问题二：48 …………(8分) 1225 ………(10分)

3. （本小题满分10分）
⑴A 地位置如图所示．使点A满足AB ∶AC＝2∶3 . ……………………………… (2分)


⑵乙车的速度150÷2＝75千米/时,
,∴M(1.2,0) ………………(3分)
所以点 M表示乙车 1.2 小时到达 A地．…(4分)
⑶甲车的函数图象如图所示． …………(5分)
当 时, ；…………(6分)
当 时, . …………(7分)
⑷由题意得 ,得 ； ,得 .
∴ …………………………………………………………………………(9分)
∴两车同时与指挥中心通话的时间为 小时. …………………………(10分)
4．（本小题满分10分）
⑴∵抛物线过点(0,0)、(4,0),
∴抛物线的对称轴为直线 . ………………………………………………………(1分)
∵顶点在直线 上, ∴顶点坐标为(2,－2). …………………………(3分)
故设抛物线解析式为 ,
∵过点(0,0),∴ ,∴抛物线解析式为 ………………………(5分)
⑵当AP∥OB时,
如图,∠BOA＝∠OAP＝45°,过点B作BH⊥x轴于H,则OH＝BH.
设点B(x,x),故 ,解得x＝6或x＝0(舍去)…………………………(6分)
∴B(6,6). …………………………………………………………………………(7分)
当OP∥AB时,同理设点B(4－x,x)
故 ,解得x＝6或x＝0(舍去),∴B(－2,6) .……(8分)
H
⑶D(2,－6).………………………………………………………………………………(10分)






5．（本小题满分12分）
⑴AC；…………………………………………………………………………………(1分)
⑵作图如图；…………………………………………………………………………(3分)
∵点P为AC中点,∴PA＝PC＝ AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°,∴BP＝DP＝ AC,∴PA＝PB＝PC＝PD,…………(4分)
∴点A、B、C、D在以P为圆心, AC为半径的同一个圆上. ………………(5分)
⑶∵菱形ACEF,∴∠ADC＝90°AE＝2AD,EC＝2CD,∴四边形ABCD为损矩形,
∴由⑵可知,点A、B、C、D在同一个圆上. ……………………………………(7分)
∵ AM平分∠BAD,∴∠ABD＝∠CBD＝45°,∴ ,∴AD＝CD,
∴四边形ACEF为正方形. ………………………………………………………(9分)
∵点BD平分∠ABC,BD＝ ,∴点D到AB、BC的距离h为4,
∴ ＝6. ,
, ,
∵ ,∴ ＋ ＝6＋2BC,
∴BC＝5或BC＝－3(舍去),∴BC＝5. ……………………………………………(12分)

6．（本小题满分12分）
⑴如图1,分别过点作AM⊥CD于M,BN⊥CD于N,∵BC＝20,∠C＝180°－∠ABC＝60°,
∴CN＝10＝DM,BN＝ ,∴CD＝60.
∵△CPQ∽△DAQ,∴ ,
∴ ,∴ , (不合题意), ∴t＝10.…………………(5分)







图1 图2
⑵当点P在线段BC上时,如图2,过P作FG⊥CD于G,交AB延长线于F.
∴PF＝ ,PG＝ ,
∴ , ,
＝500 －
－ － ,＝ . ( )………(8分)
当点P在线段BC的延长线上时,如图3,过P作PH⊥AB于H,则
设AP与CD交于点E,
∵ ,∴ ,
∴QE＝CQ－CE＝ .
∴y＝
= . ( ) ………………………………………(12分)

你是让朋友们给你提供还是你提供而没写出来

什么叫好的数学难题？