证明 欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6这个式子咋和圆周率扯上联系?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 17:24:41
证明欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2=π^2/6这个式子咋和圆周率扯上联系?证明欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n

证明 欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6这个式子咋和圆周率扯上联系?
证明 欧拉级数_π
证明无穷级数
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6
这个式子咋和圆周率扯上联系?

证明 欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6这个式子咋和圆周率扯上联系?
可以参见黎曼zeta函数.
一个有意思的推导是欧拉给出的
考虑Sin(x)/x
泰勒展开后有 sin(x)/x = 1 - x^2/3! + .
另外, sin(x)/x 在x = n Pi 的时候有零点. 我们假设可以用这些零点来表示sin(x)/x 那么有
sin(x)/x = (1-x/Pi)(1+x/Pi)(1-x/(2Pi))(1+x/(2Pi)...
(成立因为左边有右边的零点必须相同)
也就等于 (1-x^2/Pi^2)(1-x^2/(4Pi^2)).
展开上面的连积, 然后取x^2项目的系数有
-(1/Pi^2+1/(4Pi^2)+1/(9Pi^2)+.) = - 1/Pi^2 (1+1/4+1/9+...1/n^2)
这个既然是x^2项目的系数, 自然应该等于 1/3! = 1/6.
所以得到
1+1/4+1/9+. = Pi^2/6.
比较规范的还是参考riemann zeta function吧.

证明 欧拉级数_π证明无穷级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.+1/n^2 = π^2 /6这个式子咋和圆周率扯上联系? 无穷级数的证明级数An^2(n=1~无穷)收敛,证明级数An/n是绝对收敛 证明无穷级数,.. 无穷级数证明 一道无穷级数证明题 证明1/n^2级数的收敛性 一道无穷级数的题 证明级数收敛 无穷级数的敛散性证明问题 无穷级数证明题正项级数an Sn= 求和an 发散 求证 求和 (a(n+1)/Sn) 也发散 有关级数的问题?如何证明级数（从2到无穷求和）1/（NlnN）与1/lnN发散?感激不尽! 证明级数∑1/n^x （1 无穷级数的常数项级数审敛法问题设正项级数∑（顶为∞,底为n=1,下同）a n(n下标,下同）与∑b n均收敛,证明1、级数∑√（a n×b n）收敛2、利用第一小题的结果证明级数∑（√a n／n）收敛 设Un>=0,且{NUn}有界,证明：级数∑Un^2收敛（n从1到无穷） 关于级数的一道高数题已知an为正项数列,Sn为an的前n项和,证明无穷级数∑(an/Sn^p)(p＞1)收敛.:>_ 证明函数项级数n从1到无穷,arctan(2x/(x^2+n^3))在负无穷到正无穷内一致收敛 如何证明级数∑1/2^(n+(-1)^n)收敛 证明级数(1/2^n+1/n)发散 怎样证明级数 1/(n+2) 的发散性