①∫(1到2)1/(3x-1)^2dx;②∫(0到ln2)e^x(1+e^x)^2dx;③∫(0到根号2)x*根号下(2-x^2)dx;④∫(0到π/4)tanx*lncosx dx.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 14:45:06
①∫(1到2)1/(3x-1)^2dx;②∫(0到ln2)e^x(1+e^x)^2dx;③∫(0到根号2)x*根号下(2-x^2)dx;④∫(0到π/4)tanx*lncosxdx.①∫(1到2)1/

①∫(1到2)1/(3x-1)^2dx;②∫(0到ln2)e^x(1+e^x)^2dx;③∫(0到根号2)x*根号下(2-x^2)dx;④∫(0到π/4)tanx*lncosx dx.
①∫(1到2)1/(3x-1)^2dx;②∫(0到ln2)e^x(1+e^x)^2dx;③∫(0到根号2)x*根号下(2-x^2)dx;④∫(0到π/4)tanx*lncosx dx.

①∫(1到2)1/(3x-1)^2dx;②∫(0到ln2)e^x(1+e^x)^2dx;③∫(0到根号2)x*根号下(2-x^2)dx;④∫(0到π/4)tanx*lncosx dx.
第一题:
令3x-1=t,则:x=(t+1)/3,∴dx=(1/3)dt.
当x=1时,t=3-1=2, 当x=2时,t=3×2-1=5.
∴原式=(1/3)∫(上限为5,下限为2)(1/t^2)dt=-(1/3)/t|(上限为5,下限为2)
   =-1/(3×5)+1/(3×2)=-1/15+1/6=1/10
第二题:
令e^x=t,则:x=lnt,∴dx=(1/t)dt.
当x=0时,t=1, 当x=ln2时,t=2.
∴原式=∫(上限为2,下限为1)t(1+t)(1/t)dt=∫(上限为2,下限为1)(1+t)d(1+t)
   =(1/2)×(1+t)^2|(上限为2,下限为1)
   =(1/2)×(1+2)^2-(1/2)×(1+1)^2=9/2-4/2=5/2.
第三题:
令x^2=t,则:2xdx=dt,∴xdx=(1/2)dt.
当x=0时,t=0, 当x=√2时,t=2.
∴原式=(1/2)∫(上限为2,下限为0)√(2-t)dt
   =-(1/2))∫(上限为2,下限为0)√(2-t)d(2-t)
   =-(1/2)×(2/3)(2-t)^(3/2)|(上限为2,下限为0)
   =-(1/3)×(2-2)^(3/2)+(1/3)×(2-0)^(3/2)=2√2/3.
第四题:
令cosx=t,则:sinxdx=-dcosx=-dt.
当x=0时,t=1, 当x=π/4时,t=√2/2.
∴原式=-∫(上限为√2/2,下限为1)[1/(tlnt)]dt
   =-∫(上限为√2/2,下限为1)lntd(lnt)
   =-(1/2)(lnt)^2|(上限为√2/2,下限为1)
   =-(1/2)[ln(√2/2)]^2=-ln(√2/2)=(1/2)ln2.