已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π)设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2.若θ1-θ2=π/6.求sin(α-β)/4的值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 11:19:18
已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π)设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2.若θ1-θ2=π/6.求sin(α-β)/4的值
已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π)
设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2.若θ1-θ2=π/6.
求sin(α-β)/4的值
已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π)设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2.若θ1-θ2=π/6.求sin(α-β)/4的值
因为a∈(0,π),β∈(π,2π)
所以sina>0,sinβ0,1-cosβ>0,所以向量A在第一象限,向量B在第四象限
所以tanθ1=sinα/(1+cosα)
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}
=sin(α/2)/cos(α/2)
=tan(α/2)
tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}
=-cos(β/2)/sin(β/2)
=-cot(β/2)
又θ1-θ2=π/6,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/6=(√3)/3
而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)
={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]
=[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]
=cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]
=-cot[(α-β)/2]
所以cot[(α-β)/2]=-(√3)/3
cos[(α-β)/2]=-(√3)/3sin[(α-β)/2]
代入{cos[(α-β)/2]}^2+{sin[(α-β)/2]}^2=1
得:(4/3){sin[(α-β)/2]}^2=1
再由a∈(0,π),β∈(π,2π)得(α-β)/2∈(-π,0),所以sin[(α-β)/2]
首先分析a,b向量的结构,
把b写成
1+cos(π-β),sin(π-β)
所以可以认为a,b在同一个圆上
圆心(1,0)
半径为1
所以过原点
因为a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2。若θ1-θ2=π/6
就有a,b夹角为π/6
可以画图看一下
注意圆过原点,所以圆上a点,b点,原点构成一个圆周角,夹角为θ1-...
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首先分析a,b向量的结构,
把b写成
1+cos(π-β),sin(π-β)
所以可以认为a,b在同一个圆上
圆心(1,0)
半径为1
所以过原点
因为a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2。若θ1-θ2=π/6
就有a,b夹角为π/6
可以画图看一下
注意圆过原点,所以圆上a点,b点,原点构成一个圆周角,夹角为θ1-θ2=π/6
那么圆心角为π/3
圆心角应该是α-(π-β)=π/3
所以α+β=4π/3
但是求差就郁闷了
如果b是1+cosβ,sinβ就好了
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