微积分的物理应用将一底半径为r、高为h且开口朝上的圆锥形容器内的水,抽到高出容器顶面a处时要做多少功?我很奇怪抽到高出顶面时是什么情况?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/20 09:39:59

微积分的物理应用将一底半径为r、高为h且开口朝上的圆锥形容器内的水,抽到高出容器顶面a处时要做多少功?我很奇怪抽到高出顶面时是什么情况?微积分的物理应用将一底半径为r、高为h且开口朝上的圆锥形容器内的

微积分的物理应用将一底半径为r、高为h且开口朝上的圆锥形容器内的水,抽到高出容器顶面a处时要做多少功?我很奇怪抽到高出顶面时是什么情况?
微积分的物理应用
将一底半径为r、高为h且开口朝上的圆锥形容器内的水,抽到高出容器顶面a处时要做多少功?
我很奇怪抽到高出顶面时是什么情况?

微积分的物理应用将一底半径为r、高为h且开口朝上的圆锥形容器内的水,抽到高出容器顶面a处时要做多少功?我很奇怪抽到高出顶面时是什么情况?
你倒过来想就是了,将一个满是水的圆锥容器开口向下放在一水平面上,然后水全部流出,这时水做的功就是你要求的功了
为方便,我将底半径写为R,总高为H,水密度为ρ
方法一：
所求即为圆锥体的重心从原来位置移到底面所在平面位置时所要做的功,由于圆锥体重心为距离地面H/4处,则：
W=ρVg*（H/4)=ρg*(1/3*π*R^2*H)*（H/4)=1/12*πρg*R^2*H^2
方法二：
设距离圆锥定点距离为h与圆锥底面平行的平面半径为r,由正玄定理易知r/R=h/H,即r=hR/H,则对圆锥无限细分,在dh高（d是微分符号,别理解错）范围内可视为圆柱体（由于dh为无穷小）,此部分水升到圆锥顶面时所做的功的微分方程即为：
dW=dm*g*（H-h）=πr^2*dh*ρ*g*（H-h）=πρg*（hR/H)^2*（H-h）*dh
积分得出W即为h从0积到H（积分符号的积分界限我打不出,请谅解）,则
W=∫(0→H） πρg*（hR/H)^2*（H-h） dh=πρg（R/H)^2*∫(0→H） H*h^2-h^3 dh
=πρg（R/H)^2* (1/3H*h^3-1/4h^4) |(0→H)
=1/12*πρg*R^2*H^2