几何题求证
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 21:02:13
几何题求证
几何题求证
几何题求证
如图,D为AC边的中点,∠A=3∠C,∠ADB=45°,求证AB⊥BC.
证明：过B作BE⊥AC,E为垂足.不失一般性,设AC=2,则AD=DC=1,再设ED=x,则AE=1-x,
EC=1+x,∵∠ADB=45°,∴BE=ED=X；于是有等式：(1-x)tan3C=(1+x)tanC=x,即有：
(1-x)(sin3C/cos3C)=(1+x)(sinC/cosC).(1)
用3倍角公式：sin3C=3sinC-4sin³C；cos3C=4cos³C-3cosC,代入(1)式,并化简得：
(1-x)(3-4sin²C)/(4cos²C-3)=1+x,即有：
(1-x)(3-4sin²C)=(1+x)(4cos²C-3),展开化简得：x=1/(2cos2C)..(2)
代入tanC=x/(1+x),得tanC=1/(1+2cos2C)；即有sinC(1+2cos2C)=cosC
sinC[1+2(cos²C-sin²C)]=cosC,2sinC(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cosC-sinC,
C≠45°,故cosC-sinC≠0,故可将其消去得2sinC(cosC+sinC)=1,
2sinC[(√2)cos(C-45°)]=1
2sinCcos(C-45°)=(√2)/2
用积化和差公式得sin45°+sin(2C-45°)=(√2)/2,故sin(2C-45°)=0,2C-45°=0,∴C=45°/2.
在△ABC中,∠ABC=180°-(∠A+∠C)=180°-(3C+C)=180°-4C=180°-4×(45°/2)=180°-90°=90°
∴AB⊥BC,于是命题得证!
这一题我还没想出好的方法。现在只会一种方法，就是反证法。假设不垂直，过c作ab垂线交ab于b0，可以算出角acb0为22.5，角b0ac为67.5。因此b0ac=3acb0，而这种情况只有b和b0重合时才会有。
应该是过b做ab的垂线。思路类似