问一道超级BT的数学题 求证 (ln1)^2 +(ln2)^2+…………+(lnn)^2>(n-1)^4/4n^3 n>2 n属于N*问一道超级BT的数学题求证 (ln1)^2 +(ln2)^2+…………+(lnn)^2>(n-1)^4/4n^3 n>2 n属于N*

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 04:24:13
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问一道超级BT的数学题
求证 (ln1)^2 +(ln2)^2+…………+(lnn)^2>(n-1)^4/4n^3 n>2 n属于N*

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数列Tn=ln1/1^2+ln2/2^2+ln3/3^2+.+lnn/n^2 求证Tn<=2n^2-n+1/4(n+1)
下面用单调性证明
考察函数f(x)=lnx-x+1,(x>1),其导数f'(x)=(1-x)/x<0,这样f(x)在x>1上单调减少
又 f(x)可在x=1处连续,故f(x)>f(1)=0,这样就得到了lnx1
这里取n^2(>1)替换x便得到lnn^2两边同时除以n^2得到(lnn^2)/n^2<1-1/n^2<1-1/[n(n+1)]=1-[1/n-1/(n+1)]
即 (lnn^2)/n^2<1-[1/n-1/(n+1)]
累加取n from 2 to n 得
2ln2/2^2+2ln3/3^2+...+2lnn/n^2 <(n-1)-(1/2-1/(n+1))=(2n^2-n-1)/[2(n+1)]
两边除以2即得ln1/1^2+ln2/2^2+ln3/3^2+.+lnn/n^2<(2n^2-n-1)/[4(n+1)]< (2n^2-n+1)/[4(n+1)]

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