设ABC为三角形的内角,且满足方程(sinB-sinA)x^2+(sinA-sinc)x+(sinC-sinB)=0有两个 相等的实根.求角B的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 14:25:54
设ABC为三角形的内角,且满足方程(sinB-sinA)x^2+(sinA-sinc)x+(sinC-sinB)=0有两个 相等的实根.求角B的范围
设ABC为三角形的内角,且满足方程(sinB-sinA)x^2+(sinA-sinc)x+(sinC-sinB)=0有两个 相等的实根.求角B的范围
设ABC为三角形的内角,且满足方程(sinB-sinA)x^2+(sinA-sinc)x+(sinC-sinB)=0有两个 相等的实根.求角B的范围
由题意知
(sinA-sinc)^2-4*(sinB-sinA)*(sinC-sinB)=0 (1)
这个算式展开太麻烦
由正弦定理
a=2*RsinA得
sinA=a/(2*R)
sinB=b/(2*R)
sinC=c/(2*R)
将上面3个式子带入（1）
得
(a-c)^2-4*(b-a)*(c-b)=0
化简后得
a^2+2*a*c+c^2+4*b^2-4*a*b-4*b*c=0
(a+c)^2-4*b(a+c)+4*b^2=0
(a+c-2*b)^2=0
a+c=2*b
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)=(a^2+c^2-((a+c)/2)^2)/(2*a*c)=3*(a^2+c^2)/(8*a*c)-1/4
>=(3*2*a*c)/(8*a*c)-1/4
即cosB>=1/2
所以B的范围是(0,π/3]
x=1代入方程两边为0，因此x=1为方程的根。故两根都为x=1
由韦达定理，两根积为1，故有：
sinC-sinB=sinB-sinA, 即：2sinB=sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sinAcosB+sinBcosA
化为：sinB(2-cosA)=sinA(1+cosB)
sinB/(1+cosB)=sinA/(2-cosA)
全部展开
x=1代入方程两边为0，因此x=1为方程的根。故两根都为x=1
由韦达定理，两根积为1，故有：
sinC-sinB=sinB-sinA, 即：2sinB=sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sinAcosB+sinBcosA
化为：sinB(2-cosA)=sinA(1+cosB)
sinB/(1+cosB)=sinA/(2-cosA)
sinB/2(cosB/2)^2=sinA/(2-cosA)
tan(B/2)=sinA/(2-cosA)
令f(x)=sinx/(2-cosx), f'(x)=[cosx(2-cosx)-(sinx)^2]/(2-cosx)^2=[2cosx-1]/(2-cosx)^2=0, 得cosx=1/2时为极大值点，x=A=π/3, f(π/3)=√3/3, 即B/2= π/6, B=π/3
因此0
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