如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC (图中点M没标)要做辅助线!
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 05:06:38
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC (图中点M没标)要做辅助线!
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC (图中点M没标)要做辅助线!
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC (图中点M没标)要做辅助线!
方法一:设点A、B、C、D的坐标分别为A(0,0),B(t,0),C(0,t),D(a,b)(a≠0,a=0时AD与AB、AC与AE重合,可知所求命题成立),因为AD=AE且互相垂直,所以E点坐标是E(-b,a).故直线DE方程为y=(b-a)/(a+b) X+(a²+b²)/a+b,直线BE的方程是y=-a/(b+t) X+at/(b+t).
因为EM=BM,设M点坐标是M(w,z),即联立以上两个方程得知点M坐标求得直线AM的方程是y=-(t-b)/a X.直线DC的方程是y=(b-t)/a X+t,所以AM与DC垂直.
方法二:很明显,∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-∠CAD=∠DAE-∠CAD=∠CAE.
∵向量AM=向量AB+向量BM, 向量AM=向量AE+向量EM=向量AE-向量ME,
∴2向量AM=向量AB+向量AE+(向量BM-向量ME)
∵M是BE的中点,∴向量BE=向量ME,∴2向量AM=向量AB+向量AE······①
而向量CD=向量AC-向量AD······②
①②相乘,得:
2向量AM·向量CD=向量AB·向量AC-向量AB·向量AD+向量AE·向量AC-向量AE·向量AD,
∵AB⊥AC,AD⊥AE,∴向量AB·向量AC=0,向量AE·向量AD=0,
∴2向量AM·向量CD=向量AE·向量AC-向量AB·向量AD
=|向量AE|·|向量AC|cos∠CAE-|向量AB|·|向量AD|cos∠BAD
∵AB=AC,AD=AE,∴|向量AB|=|向量AC|,|向量AD|=|向量AE|,
又∠BAD=∠CAE,∴2向量AM·向量CD=0,∴向量AM与向量CD垂直,即:AM⊥CD.
方法三:
方法四: