数列、三角函数相关,1、若a1＞0,a1≠1,a(n+1)=(2a n)/(1+a n)(n=1,2,…).（1）求证：a(n+1)≠a n；（2）令a1=1/2,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出数列的通项公式；（3）求证：存在不等于零的常数p,使得{(a

数列、三角函数相关,1、若a1＞0,a1≠1,a(n+1)=(2a n)/(1+a n)(n=1,2,…).（1）求证：a(n+1)≠a n；（2）令a1=1/2,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出数列的通项公式；（3）求证：存在不等于零的常数p,使得{(a
数列、三角函数相关,
1、若a1＞0,a1≠1,a(n+1)=(2a n)/(1+a n)(n=1,2,…).（1）求证：a(n+1)≠a n；（2）令a1=1/2,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出数列的通项公式；（3）求证：存在不等于零的常数p,使得{(a n+p)/a n}是等比数列,并求出公比q的值.
2、观察下列等式：tan(-45°)+tan(-60°)+tan(-75°)=tan(-45°)tan(-60°)tan(-75°)
分析上面各式的特点,写出能反映其规律的等式,并给出证明.
3、等差数列{a n}的前n项和为Sn,a1=1+根号2,S3=9+3根号2.设{b n}=Sn/n（n∈N*）,求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

数列、三角函数相关,1、若a1＞0,a1≠1,a(n+1)=(2a n)/(1+a n)(n=1,2,…).（1）求证：a(n+1)≠a n；（2）令a1=1/2,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出数列的通项公式；（3）求证：存在不等于零的常数p,使得{(a
1.
（1）假设a(n+1)=a n,则由已知有an=a(n+1)=(2a n)/(1+a n),(n=1,2,…),即an=0或1,)(n=1,2,…),又因为a1＞0,a1≠1,故假设不成立,即a(n+1)≠a n.
（2）由已知得a2=2/3,a3=4/5,a4=8/9,a5=16/17,可观察每个分子加1就等于分母而且分子为平方数,即可归纳an=2^(n-1)/[1+2^(n-1)].
(3)其实由递推公式可以求出an的,由已知可得1/a(n+1)-1=1/2[1/(an)-1],也即数理{1/(an)-1}为首项为1/a1,公比为1/2的等比数列,不适一般性有an=2^(n-1)a1/[1-a1+2^(n-1)a1]
则an+p/an=2^(n-1)a1+(1-a1)p+2^(n-1)a1p/2^(n-1)a1=(1+p)*[1/2^(n-1)a1]+(1-a1)p/2^(n-1)a1要使为等比数列,则有1+p=0或p=0,故存在不为0的常数p=-1使结论成立!
2.
根据观察则有在有意义的情况下有：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,且A+B+C=π,
证明有tanA+tanB=tan(A+B)*(1-tanAtanB)
且tanC=-tan(A+B)
则可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
3.
由题意可得a1+a2=2a3,又a1=1+根号2,S3=9+3根号2,则可得an=2n+（根号2）-1
Sn=n*(n+根号2),所以bn=n+根号2
假设bm,bt,br组成等比数列且不等,则有bt^2=bm*br
即（t+根号2)^2=(m+根号2)(r+根号2)
故有：t^2-mr=根号2（m+r-t）,又因为t,m,r为正整数,根号2（m+r-t)为无理数
又容易知道左边式子为整数,而右边为无理数
不存在t,m,r使的上式成立,也即不存在任意三个不同项成等比数列!

1、
(1)证明：假如a(n+1)=an，那么an=x恒成立。带入关系式有x=2x/(1+x)，化简得：x(x-1)=0，得x=0或x=1。这与题干矛盾，所以a(n+1)≠an
(2)因为a1=1/2，所以a2=(2*1/2)/(1+1/2)=2/3，a3=(2*2/3)/(1+2/3)=4/5，a4=(2*4/5)/(1+4/5)=8/9，a5=(2*8/9)/(1+8/9)=1...

全部展开

1、
(1)证明：假如a(n+1)=an，那么an=x恒成立。带入关系式有x=2x/(1+x)，化简得：x(x-1)=0，得x=0或x=1。这与题干矛盾，所以a(n+1)≠an
(2)因为a1=1/2，所以a2=(2*1/2)/(1+1/2)=2/3，a3=(2*2/3)/(1+2/3)=4/5，a4=(2*4/5)/(1+4/5)=8/9，a5=(2*8/9)/(1+8/9)=16/17
归纳出an=2^(n-1)/[2^(n-1)+1] (n∈N*)
(3)证明：假设存在这样的p，令bn=(an+p)/an，则bn/b(n-1)=q
令{an}的首项为c，则an=2^(n-1)c/{1+[2^(n-1)-1]c} (n∈N*)
带入bn中化简有bn=(an+p)/an=[2^(n-1)c(p+1)+p(1-c)]/[2^(n-1)c]
由bn/b(n-1)=q化简得：q=1/{1+p(1-c)/[(p+1)2^(n-1)c+p(1-c)]}
由于q是一个常数，所以q的取值与n无关，又c≠0、c≠1、p≠0，只能p+1=0，得p=-1，此时q=1/2
2、当A+B+C=π时，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明：tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)
变形上式即得结论
3、证明：由Sn=na1+n(n-1)d/2得：d=2(S3-3a1)/(2*3)=2[9+3√2-3(1+√2)]/(3*2)=2
bn=Sn/n=[n(n+√2)]/n=n+√2 (n∈N*)
假设存在3项a+√2、b+√2、c+√2成为等比数列，其中a、b、c∈N*
有(b+√2)^2=(a+√2)(c+√2)，化简得：(b^2+2)+2√2b=(ac+2)+(a+c)√2
得：b^2=ac，2b=a+c
即a、b、c既是等差数列，又是等比数列。
只有a=b=c。这与“任意不同的三项”矛盾，所以{bn}中不存在这样的等比数列。

收起

1,、a(n+1)+an*a(n+1)=2a(n+1) 1/an+1=2/a(n+1) 2[1/a(n+1)-1]=1/an-1 1/an-1=2^(1-n)
an=1/[1+2^(1-n)]
2、α+β+γ=180º tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ 变态导
3、d=2 an=2n-1+根 Sn=n^2+n*根2 bn=n+根2 设x1,x2,x3均为N* 互不相等 x1