用三重积分求由 x^2-2x+y^2=0,z=(x^2+y^2)/2,与z=0所围成的立体体积.本人数学不好,麻烦帮我画出图.不好意思啊，我总分不多。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 20:07:57
用三重积分求由 x^2-2x+y^2=0,z=(x^2+y^2)/2,与z=0所围成的立体体积.本人数学不好,麻烦帮我画出图.不好意思啊，我总分不多。
用三重积分求由 x^2-2x+y^2=0,z=(x^2+y^2)/2,与z=0所围成的立体体积.本人数学不好,麻烦帮我画出图.
不好意思啊，我总分不多。
用三重积分求由 x^2-2x+y^2=0,z=(x^2+y^2)/2,与z=0所围成的立体体积.本人数学不好,麻烦帮我画出图.不好意思啊，我总分不多。
本题图很难画,事实上不画图也是可以做的.x^2-2x+y^2=0是一个圆柱,母线平行于z轴,与xOy面交出一个圆,(x-1)²+y²=1,(平面图自己画）
z=(x^2+y^2)/2是一个旋转抛物面（不是楼上说的圆锥,如果z也带平方才是圆锥）,这个图形在圆柱内被截成什么样子,很难画,也不需要画,你只要知道,它投影到xOy面上就是(x-1)²+y²=1就够了.
这样我们知道,这个立体的底面是z=0平面,底是z=(x^2+y^2)/2,侧面是(x-1)²+y²=1,够了,不用画图.
∫∫∫ 1 dV=∫∫ ∫[0-->(x²+y²)/2] 1dz dxdy 二重积分的区域为D：(x-1)²+y²=1
=∫∫ (x²+y²)/2 dxdy
二重积分就容易了,用极坐标
=1/2∫∫ r²r drdθ
下面r的范围有点麻烦,因为这个圆的圆心不在原点,教你个简单点的办法
x²-2x+y²=0化为极坐标方程就行了,r²-2rcosθ=0得r=2cosθ
则θ的范围是：0≤r≤2cosθ
=1/2∫[-π/2,π/2] ∫ [0-->2cosθ] r³ dr dθ
=1/8∫[-π/2,π/2] r⁴ |[0-->2cosθ] dθ
=2∫[-π/2,π/2] cos⁴θ dθ
=4∫[0,π/2] cos⁴θ dθ
=∫[0,π/2] (1+cos2θ)² dθ
=∫[0,π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=∫[0,π/2] (1+2cos2θ+1/2+1/2cos4θ) dθ
=(π/2)*(3/2)
=3π/4
。。。这位兄台要求这么多，题目也不容易，分给这么少，也忒没诚意了吧。。。
是个圆柱，圆锥，和平面。圆柱和圆锥不同心。。。
挺麻烦的，我还是睡觉算了。。。