过y^2=2px(x>0)上一点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(X1,Y1)B(X2,Y2)1)求抛物线上纵坐标为0.5p的点到其焦点F的距离2）当PA、PB斜率存在且倾斜角互补时求（y1+y2）/y0的值,并证明直线AB的斜率是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 09:37:09
过y^2=2px(x>0)上一点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(X1,Y1)B(X2,Y2)1)求抛物线上纵坐标为0.5p的点到其焦点F的距离2）当PA、PB斜率存在且倾斜角互补时求（y1+y2）/y0的值,并证明直线AB的斜率是
过y^2=2px(x>0)上一点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(X1,Y1)B(X2,Y2)1)求抛物线上纵坐标为0.5p的点到其焦点F的距离2）当PA、PB斜率存在且倾斜角互补时求（y1+y2）/y0的值,并证明直线AB的斜率是非零常数
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过y^2=2px(x>0)上一点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(X1,Y1)B(X2,Y2)1)求抛物线上纵坐标为0.5p的点到其焦点F的距离2）当PA、PB斜率存在且倾斜角互补时求（y1+y2）/y0的值,并证明直线AB的斜率是
(1)
所求距离=纵坐标为p/2的点到准线的距离
=(p/2)^2/2p-(-2p/4)=5p/8
(2)
P(y0^2/2p,y0),A(y1^2/2p,y1),B(y2^2/2p,y2)
kPA=(y1-y0)/(y1^2/2p-y0^2/2p)=2p/(y1+y0)
kPB=2p/(y2+y0)
αPA+αPB=π
tan(αPA)=tan(π-αPB)=-tan(αPB)
kPA+kPB=0
2p/(y1+y0)+2p/(y2+y0)=0
y2+y0+y1+y0=0
(y1+y2)/y0=-2
kAB=(y2-y1)/(y2^2/2p-y1^2/2p)
=2p/(y1+y2)
=-p/y0为非零常数
1）焦点F(p/2,0),
将y0=p/2代入y^2=2px得：x0=p/8,
由抛物线的准线x=-p/2以及,定义知，
|PF|=x0+p/2=5p/8.
2）设直线PA的斜率为1/m.
当PA、PB斜率存在且倾斜角互补时，直线PB的斜率为- 1/m
直线PA的方程:y-y0=1/m*(x-x0),注意到y0^2=2px0,
所以x-x0=...
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1）焦点F(p/2,0),
将y0=p/2代入y^2=2px得：x0=p/8,
由抛物线的准线x=-p/2以及,定义知，
|PF|=x0+p/2=5p/8.
2）设直线PA的斜率为1/m.
当PA、PB斜率存在且倾斜角互补时，直线PB的斜率为- 1/m
直线PA的方程:y-y0=1/m*(x-x0),注意到y0^2=2px0,
所以x-x0=m(y-y0)且x0=+y=y0^2/(2p),
x=m(y-y0)+y0^2/(2p),
同理在直线PB中有:x=-m(y-y0)+y0^2/(2p).
分别代入y^2=2px,①得
y^2-2mpy+2mpy0-y0^2=0,y1=2mp-y0;②
y^2+2mpy-2mpy0-y0^2=0,y2=-2mp-y0:
∴(y1+y2)/y0=-2.③
把②代入①得x1=y1^2/(2p),
同理x2=y2^2/(2p),
∴AB的斜率=（y1-y2)/(x1-x2)
=2p/(y1+y2)=-p/y0,是非零常数(∵③，y0,p>0).
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