如下图所示,直角梯形ABCD.AB垂直AD,BC//AD.SA垂直平面ABCD,且SA=AB=BC=a,AD=2a.(1)求证:平面SCD垂直平面SAC;(2)求二面角A-SD-C的正弦值;(3)求直线SD与AC所成角的余弦值.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/11 04:28:55
如下图所示,直角梯形ABCD.AB垂直AD,BC//AD.SA垂直平面ABCD,且SA=AB=BC=a,AD=2a.(1)求证:平面SCD垂直平面SAC;(2)求二面角A-SD-C的正弦值;(3)求直线SD与AC所成角的余弦值.
如下图所示,直角梯形ABCD.AB垂直AD,BC//AD.SA垂直平面ABCD,且SA=AB=BC=a,AD=2a.
(1)求证:平面SCD垂直平面SAC;
(2)求二面角A-SD-C的正弦值;
(3)求直线SD与AC所成角的余弦值.
如下图所示,直角梯形ABCD.AB垂直AD,BC//AD.SA垂直平面ABCD,且SA=AB=BC=a,AD=2a.(1)求证:平面SCD垂直平面SAC;(2)求二面角A-SD-C的正弦值;(3)求直线SD与AC所成角的余弦值.
(1)过A做AE垂直SC,由三边长度知道三角形SCD是直角三角形,所以SC垂直于CD,又SA垂直于CD,所以SC垂直于面SAC,于是CD垂直于AE,又AE垂直于SC,所以AE垂直于面SCD,所以平面SCD垂直平面SAC
(2)因为SA垂直平面ABCD,所以,SA垂直于AB,BC,AD
在直角三角形SAB和SAD中,可得SB=(根号2)a,SD=(根号5)a,
因为BC垂直于SA和AB,所以BC垂直于平面SAB,可得BC垂直于SB,可解得SC=(根号3)a
同样可解得CD=(根号2)a
三角形SAD中,作边SD上的高线AE交SD于点E,可解得AE=(2/根号5)a,SE=(1/根号5)a
三角形SCD中,因为CD=(根号2)a,SC=(根号3)a,SD=(根号5)a,所以它也是直角三角形,从C点作SD上的高线交SD于F,解得CF=(根号6/根号5)a,SF=(3/根号5)a,EF=(2/根号5)a
根据二面角公式AC平方=AE平方+CF平方+EF平方-2×AE×CF×cosa
可解得cosa=(根号6)/6
(3)取AD的中点做MN//SD,NF//AC,再连接MF,这些还比较好算吧 就这样把