设a+b+c=0,a³+b³+c³=0.求证a的n次方加b的n次方加c的次方等于0（n为任意正奇数）各位哥哥姐姐们,帮帮我吧,谢谢了.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 22:24:06
设a+b+c=0,a³+b³+c³=0.求证a的n次方加b的n次方加c的次方等于0（n为任意正奇数）各位哥哥姐姐们,帮帮我吧,谢谢了.
设a+b+c=0,a³+b³+c³=0.求证a的n次方加b的n次方加c的次方等于0（n为任意正奇数）
各位哥哥姐姐们,帮帮我吧,谢谢了.
设a+b+c=0,a³+b³+c³=0.求证a的n次方加b的n次方加c的次方等于0（n为任意正奇数）各位哥哥姐姐们,帮帮我吧,谢谢了.
由于,c=-a-b
代入三次方式,展开计算得
ab(a+b)=0
则,a+b=0或者ab=0
如果a+b=0,那么,c=0且a和b互为相反数,由于奇次方计算保留正负号,所以a^n+b^n=0,c^n=0,那么结论成立
如果ab=0,那么（a+b)^n=a^n+b^n,所以a^n+b^n+c^n=a^n+b^n-(a+b)^n=0结论成立
由a+b+c=0有－c＝a+b
a^3＋b^3 ＝ （a+b)（a^2－ab＋ b^2）＝－c〔（a＋b)^2 － 3ab〕＝－c（c^2－3ab）
由a^3＋b^3＋c^3=0有－c^3＝a^3＋b^3
故－c^3 ＝ －c（c^2－3ab）
如果c＝0，那么由a+b+c=0有a＝－b则a^19＋b^19＋c^19＝（－b)^19＋b^19＋0＝0
全部展开
由a+b+c=0有－c＝a+b
a^3＋b^3 ＝ （a+b)（a^2－ab＋ b^2）＝－c〔（a＋b)^2 － 3ab〕＝－c（c^2－3ab）
由a^3＋b^3＋c^3=0有－c^3＝a^3＋b^3
故－c^3 ＝ －c（c^2－3ab）
如果c＝0，那么由a+b+c=0有a＝－b则a^19＋b^19＋c^19＝（－b)^19＋b^19＋0＝0
如C不为0，两边都可以约去－c时，有c^2＝ c^2－3ab，即为ab＝0，故a或者b为0，不失一般性，设b＝0，
因为n为任意正奇数
则那么由a+b+c=0有a＝－c，则a^n＋b^n＋C^n＝（－c)^n＋0＋c^n＝0
故不论如何
a^n＋b^n＋c^n ＝ 0
收起