矩形内如何放置最多的正多边形?一个给定的长为L,宽为W的矩形内,放置面积相同的正三边形、正四边形、正六边形,不考虑各种多边形恰好契合矩形变长的情况,问哪个能放置最多?最好是能有
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 06:26:40
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矩形内如何放置最多的正多边形?
一个给定的长为L,宽为W的矩形内,放置面积相同的正三边形、正四边形、正六边形,不考虑各种多边形恰好契合矩形变长的情况,问哪个能放置最多?最好是能有公式证明!
矩形内如何放置最多的正多边形?一个给定的长为L,宽为W的矩形内,放置面积相同的正三边形、正四边形、正六边形,不考虑各种多边形恰好契合矩形变长的情况,问哪个能放置最多?最好是能有
正三边形、正四边形和正六边形最多.
因为每一块的面积都相同,所以放置数目越多,说明覆盖率越高.正三边形、正四边形和正六边形最多,是因为他们可以严丝合缝地拼接起来,最大化覆盖率（不算边角的话,覆盖率接近100%,为最优解）.
至于为什么,只要算算内角就明白了.正n边形的每个内角为(n-2)/n*180度,如果要能严丝合缝地拼接,必须满足360度是该角度大小的整数倍（这样的话,顶点方能完美地拼接起来,不浪费面积）.
设正好k个内角能凑满360度,则可列方程(n-2)/n*180*k=360,得(n-2)k=2n,得
k=2n/(n-2)=2+4/(n-2).
k若为整数,必须满足4是n-2的倍数,4的约数只有1、2和4,因此n-2=1、2或4,得n=3、4或6.
仅有正三边形、正四边形和正六边形可完美覆盖平面,这不是巧合,是可以严格推导出来的.
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