如右图,在底面为平行四边形 的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D垂直于底面ABCD,AD=1,CD=2,∠DCB=60度 (1)求证:平面A1BCD1垂直于平面BDD1B1 (2)若D1D=BD,求四棱锥D-A1BCD1的体积
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 17:35:10
如右图,在底面为平行四边形 的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D垂直于底面ABCD,AD=1,CD=2,∠DCB=60度 (1)求证:平面A1BCD1垂直于平面BDD1B1 (2)若D1D=BD,求四棱锥D-A1BCD1的体积
如右图,在底面为平行四边形 的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D垂直于底面ABCD,AD=1,
CD=2,∠DCB=60度 (1)求证:平面A1BCD1垂直于平面BDD1B1
(2)若D1D=BD,求四棱锥D-A1BCD1的体积
如右图,在底面为平行四边形 的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D垂直于底面ABCD,AD=1,CD=2,∠DCB=60度 (1)求证:平面A1BCD1垂直于平面BDD1B1 (2)若D1D=BD,求四棱锥D-A1BCD1的体积
证明:
(1)
∵底面ABCD,AD=1,CD=2,∠DCB=60°.
∴BC=1,∠DBC=90°,可得AD⊥BD,
∵几何体是四棱柱ABCD-A1B1C1D1,
∴A1D1⊥B1D1,
又D1D⊥底面ABCD,
∴AD⊥D1D,可得A1B1⊥D1D,
又B1D1∩D1D=D1,
∴A1D1⊥平面BDD1B1,A1D1⊂平面A1BCD1,
∴平面A1BCD1⊥平面BDD1B1;
(2)由(1)中A1D1⊥平面BDD1B1,四棱锥D-A1BCD1的体积转化为三棱锥A1-DD1B与C-DD1B的体积的和,而且两个体积相等,
∵AD=1,CD=2,∠DCB=60°.
∴BD=√3,D1D=BD=√3
∴VA1−DD1C=1/3*S△DD1C•AD=1/3*1/2*√3*√3*1=1/2
∴棱锥的体积为2×1/2=1
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