几何平行四边形问题平行四边形ABCD,证明：AC的平方+BD的平方=2(AB的平方+BC的平方)总觉得结论有问题。

几何平行四边形问题平行四边形ABCD,证明：AC的平方+BD的平方=2(AB的平方+BC的平方)总觉得结论有问题。
几何平行四边形问题
平行四边形ABCD,证明：AC的平方+BD的平方=2(AB的平方+BC的平方)
总觉得结论有问题。

几何平行四边形问题平行四边形ABCD,证明：AC的平方+BD的平方=2(AB的平方+BC的平方)总觉得结论有问题。
证明：
过A作AE⊥BC,过点D作DF⊥BC
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB＝CD,AB//CD
所以∠B＝∠DCF
因为∠AEB＝∠DFC＝90°
所以△ABE≌△DCF
所以AE＝DF,BE＝CF
在△ACE、△BDF和△ABE中根据勾股定理得：
AC^2＝AE^2＋EC^2
＝AB^2－BE^2＋（BC－BE）^2
＝AB^2－CF^2＋BC^2－2BC*BE＋BE^2
BD^2＝BF^2＋DF^2
＝（BC＋CF）^2＋AE^2
＝BC^2＋2BC*CF＋CF^2＋AB^2－BE^2
＝BC^2＋2BC*BE＋CF^2＋AB^2－BE^2
两式相加得：
AC^2＋BD^2＝2AB^2＋2BC^2
即：AC^2＋BD^2＝2(AB^2＋BC^2)
这是平行四边形的一个性质,可总结为：
“平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和”

平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC于点E，过点D作DF垂直BC延长线于点F，设高为H，AD=BC=a，AB=CD=b
AE垂直BC，DF垂直BC，易证BE=FC，
根据勾股定理，
BE^2+H^2=AB^2 FC^2+H^2=CD^2
(a-BE)^2+h^2=AC^2 a^2-2*a*BE+BE^2+H^2=a^2-2*a*BE+b^2=AC^2

全部展开

平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC于点E，过点D作DF垂直BC延长线于点F，设高为H，AD=BC=a，AB=CD=b
AE垂直BC，DF垂直BC，易证BE=FC，
根据勾股定理，
BE^2+H^2=AB^2 FC^2+H^2=CD^2
(a-BE)^2+h^2=AC^2 a^2-2*a*BE+BE^2+H^2=a^2-2*a*BE+b^2=AC^2
(a+FC)^2+h^2=BD^2 a^2+2*a*FC+FC^2+H^2=a^2+2*a*FC+b^2=BD^2
两式相加，因为BE=FC，所以
2*（a^2+b^2）=AC^2+BD^2
即在平行四边形ABCD中，AC的平方+BD的平方=2（AB的平方+BC的平方）
没问题，参考一下

收起

没有问题~~
通过向量来证明
向量AC=向量AB+向量BC
向量BD=向量BC-向量AB
将上两式子平方相加
就得出结果了

解法一:ABCD是平行四边形。
过A作AE垂直BC，过D作DF垂直BC于F。
那么， BE=CF，
所以EF=BC AC^2=AE^2+(BC-BE)^2
BD^2=DF^2+(BC+CF)^2
因为 AE=DF,BE=CF，
所以
AC^2+BD^2=2AE^2+2BC^2+...

全部展开

解法一:ABCD是平行四边形。
过A作AE垂直BC，过D作DF垂直BC于F。
那么， BE=CF，
所以EF=BC AC^2=AE^2+(BC-BE)^2
BD^2=DF^2+(BC+CF)^2
因为 AE=DF,BE=CF，
所以
AC^2+BD^2=2AE^2+2BC^2+2BE^2=2(AE^2+BE^2)+2BC^2=2AB^2+2BC^2
解法二:
AD^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*COS∠ABC ①
BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*COS∠BAD ②
∵AB=AD,∠ABC+∠BAD=π
∴ ①+②得到上式
所以上式得证

收起

余弦定理~~~

作AE⊥BC  DF⊥BC

知BE=CF   AE=DF

BD^2=(BC+CF)^2+DF^2   (1)

AC^2=(BC-BE)^2+AE^2   (2)

(1)+(2)式=2BC^2+CF^2+CF^2+BE^2+AE^2

因:CF^2+CF^2=DC^2

   BE^2+AE^2=AB^2

   AB=CD

故:BD^2+AC^2=2(AB^2+BC^2)

向量反应出更一般的，更本质的东西，提倡向量法