已知实数x,y满足(x-1)^2+(y-2)^2=25求x^2+y^2的最值求多种解法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 13:35:00
已知实数x,y满足(x-1)^2+(y-2)^2=25求x^2+y^2的最值求多种解法
已知实数x,y满足(x-1)^2+(y-2)^2=25求x^2+y^2的最值
求多种解法
已知实数x,y满足(x-1)^2+(y-2)^2=25求x^2+y^2的最值求多种解法
方法一：三角法
令x=5sina+1
则(y-2)^2=25-25sin^2a=25cos^2a
y=5cosa+2
∴x^2+y^2
=(5sina+1)^2+(5cosa+2)^2
=30+10sina+20cosa
=30+10√5sin(a+b) 其中tanb=10/20=1/2
∵-1 2x+2λ(x-1)=0
∂F/∂y=0 => 2y+2λ(y-2)=0
∂F/∂λ=0 => (x-1)^2+(y-2)^2-25=0
解得
x1=1+√5,y1=2+2√5
x2=1-√5,y2=2-2√5
故fmax=(1+√5)^2+(2+2√5)^2=30+10√5
fmin=(1-√5)^2+(2-2√5)^2=30-10√5
用拉格朗日乘子法解这道题有点大炮打蚊子的感觉,把它列到这里只是想说明这种方法,它是求函数f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的约束条件下的极值的一般通用方法.
x^2+y^2可看作是圆上一点到原点(0,0)距离的平方
圆心(1,2)到(0,0)的距离为√5
显然，√(x^2+y^2)最小值为r-√5,最大值为r+√5,r=5
所以x^2+y^2最大值为(5+√5)^2=30+10√5
最小值为(5-√5)^2=30-10√5
令x=5cosa+1
则(y-2)²=25-25cos²a=25sin²a
所以y-2=5sina
y=5sina+2
所以x²+y²
=(25cos²a+25sin²a)+20sina+10cosa+1+4
=25+20sina+10cosa+5
=20sina+10co...
全部展开
令x=5cosa+1
则(y-2)²=25-25cos²a=25sin²a
所以y-2=5sina
y=5sina+2
所以x²+y²
=(25cos²a+25sin²a)+20sina+10cosa+1+4
=25+20sina+10cosa+5
=20sina+10cosa+30
=√(20²+10²)sin(a+b)+30
=10√5sin(a+b)+30
其中tanb=10/20=1/2
-1<=sin(a+b)<=1
所以最大值10√5+30
最小值-10√5+30
收起