已知x+y+z=19,求u=根号(x^2+4)+根号（y^2+9)+根号（z^2+16) 的和的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 13:46:51
已知x+y+z=19,求u=根号(x^2+4)+根号（y^2+9)+根号（z^2+16) 的和的最小值.
已知x+y+z=19,求u=根号(x^2+4)+根号（y^2+9)+根号（z^2+16) 的和的最小值.
已知x+y+z=19,求u=根号(x^2+4)+根号（y^2+9)+根号（z^2+16) 的和的最小值.
柯西不等式：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)² 等号成立条件：ad=bc,即a/c=b/d
椐柯西不等式,得
[√(x²+4)+√(y²+9)+√(z²+16)]²
=x²+4+y²+9+z²+16+2√[(x²+4)(y²+9)]+2√[(y²+9)(z²+16)]+2√[(z²+16)(x²+4)]
≥x²+4+y²+9+z²+16+2(xy+6)+2(yz+12)+2(zx+8)
=(x+y+z)²+(2+3+4)²
=442
故当且仅当x/y=2/3,y/z=3/4,z/x=4/2,
即x=38/9,y=19/3,z=76/9时等号成立,
此时u|min=√442.
（1）A（0,2√3）B(-2,0)C(4,0)D(2，2√3)
（2）X、Y轴交于O，过E做EQ⊥BC于Q，延长MP交AD于G
由题目可知EQ为△AOB的中位线，可得EQ=OA的一半=PM=√3；∵MN‖AB∴MN=AB=4
∵OA=2√3,OB=2,∴TAN60°=TAN∠ABO=√3∴∠GMN=30°∴PN=MN的一半=2
∴当点N在线段AD上时，△PMN的周...
全部展开
（1）A（0,2√3）B(-2,0)C(4,0)D(2，2√3)
（2）X、Y轴交于O，过E做EQ⊥BC于Q，延长MP交AD于G
由题目可知EQ为△AOB的中位线，可得EQ=OA的一半=PM=√3；∵MN‖AB∴MN=AB=4
∵OA=2√3,OB=2,∴TAN60°=TAN∠ABO=√3∴∠GMN=30°∴PN=MN的一半=2
∴当点N在线段AD上时，△PMN的周长为6+√3
（3）假设存在一点P满足条件，MN交EF于点G；EF=4,AB=6；
∵MN‖AB∴等腰三角形的条腰为PM、PN=√3。
又∵EF‖BC，∠ABO=60°∴∠PMN=30°
过P作△PMN的中垂线，垂足为L，则PL=COS30°*PM=3/2∴MN=3
在△PMG中可得MG=2，PG=1
∵在△NMC中GF‖MC，NG/MG=1/2∴GF/MC=1/2∴GF=1/2MC=BC-BQ-x=1/2(5-x)
又∵x+PG+GF=4即x+1+1/2(5-x)=4
∴满足要求的x=1
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