过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆(x-2)^2+(y-3)^2=1,相交于mn两点,求证：向量AM乘以向量AN为定值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 16:47:10
过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆(x-2)^2+(y-3)^2=1,相交于mn两点,求证：向量AM乘以向量AN为定值过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆(x-2)^2+(y-3)^2=1,相交
过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆(x-2)^2+(y-3)^2=1,相交于mn两点,求证：向量AM乘以向量AN为定值
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直线l:y=kx+1
代入圆c(X-2)^2+(Y-3)^2=1
得:(x-2)^2+((kx-2)^2=1
即(1+k²)x²-(4+4k)x+7=0
需Δ=16(1+k)-28(1+k²)>0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=4(k+1)/(k²+1)
x1x2=7/(k²+1)
∴向量AM.向量AN
=(x1+y1-1)●(x2,y2-1)
=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+kx1*kx2
=（1+k²)x1x2
=(1+k²)*7/(1+k²)
=7
即向量AM.向量AN=定值7
法二：几何法
| AC|=2√2
过A向圆引切线AD
|AD|²=|AC|²-r²=8-1=7
根据切割线定理：
|AM||AN|=|AD|²=7
又向量AM,AN夹角为0
∴向量AM.向量AN=|AM||AN|=7
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