关于圆锥曲线的问题,如图直角ΔACB中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D在变BC上,椭圆E以A,D为焦点且经过B,C.现以线段AD所在直线为x轴,其中AD中点O为坐标原点建立直角坐标系.（1）求椭圆E的方程；(2)O(√5/2,1)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 22:26:13
关于圆锥曲线的问题,如图直角ΔACB中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D在变BC上,椭圆E以A,D为焦点且经过B,C.现以线段AD所在直线为x轴,其中AD中点O为坐标原点建立直角坐标系.（1）求椭圆E的方程；(2)O(√5/2,1)
关于圆锥曲线的问题,
如图直角ΔACB中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D在变BC上,椭圆E以A,D为焦点且经过B,C.现以线段AD所在直线为x轴,其中AD中点O为坐标原点建立直角坐标系.
（1）求椭圆E的方程；
(2)O(√5/2,1)为椭圆E内的一定点,点P是椭圆上的一动点,求PO+PD的最值.
（3）设椭圆E分别于x,y正半轴交与M,N两点,且y=kx（k>0）与椭圆E相交于E,F两点,求四边形MENF面积的最大值
关于圆锥曲线的问题,如图直角ΔACB中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D在变BC上,椭圆E以A,D为焦点且经过B,C.现以线段AD所在直线为x轴,其中AD中点O为坐标原点建立直角坐标系.（1）求椭圆E的方程；(2)O(√5/2,1)
(1)由勾股定理易求得AB=√(AC²+BC²)=5
由椭圆定义有BD=2a-AB,DC=2a-AC,二式相加得BD+DC=2a-AB+2a-AC,即
BC=4a-AB-AC,
代入数值得3=4a-4-5,解得a=3
进而DC=2a-AC=2*3-4=2
再次由勾股定理得AD=√(AC²+DC²)=√(4²+2²)=2√5
所以c=AD/2=√5,进而求得b=2,所以
椭圆E的方程为x²/9+y²/4=1
(2) 椭圆定义有PD=2a-PA,所以PO+PD=PO+2a-PA=6+(PO-PA)
在△POA中,由两边之差不小于第三边,有-OA≤PO-PA≤OA(当O、P、A三点共线时不成为三角形,取得等号)
所以6-OA≤PO+PD≤6+OA
因为A为左焦点,所以A(-√5,0),由两点间的距离公式可求得OA=7/2,所以
5/2≤PO+PD≤19/2
(3)易知M(3,0),N(0,2),将y=kx与椭圆方程联立可解得
E(6/√(9k²+4),6k/√(9k²+4)),F(-6/√(9k²+4),-6k/√(9k²+4))
所以EF=6√(k²+1)/√(9k²+4)
再由点到直线的距离公式可求得M、N到直线y=kx的距离分别为
h1=3k/√(k²+1),h2=2/√(k²+1),所以
四边形MENF面积S=SΔEFM+ SΔEFN
=(1/2)EF*h1+(1/2)EF*h2
=(1/2)EF(h1+h2)
=(1/2)*[6√(k²+1)/√(9k²+4)]*[ 3k/√(k²+1)+2/√(k²+1)]
=(9k+4)/√(9k²+4)
令k=(2/3)tanθ,则θ∈(0,π/2)
S=[9*(2/3)tanθ+4]/√[9(2/3)²tan²θ+4]=3sinθ+2cosθ=√13sin(θ+φ)≤√13 (tanφ=2/3)
四边形MENF面积的最大值为√13