三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=AC=AA1=2,M,N分别是A1B,B1C1的中点.(1)证明：A1M⊥MC；(2)证明：MN∥平面A1ACC1；(3)求二面角N-MC-A的正弦值.∠ABC=90°应该是∠BAC=90°，打错了
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 09:41:25
三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=AC=AA1=2,M,N分别是A1B,B1C1的中点.(1)证明：A1M⊥MC；(2)证明：MN∥平面A1ACC1；(3)求二面角N-MC-A的正弦值.∠ABC=90°应该是∠BAC=90°，打错了
三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=AC=AA1=2,M,N分别是A1B,B1C1的中点.
(1)证明：A1M⊥MC；
(2)证明：MN∥平面A1ACC1；
(3)求二面角N-MC-A的正弦值.
∠ABC=90°应该是∠BAC=90°，打错了
三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=AC=AA1=2,M,N分别是A1B,B1C1的中点.(1)证明：A1M⊥MC；(2)证明：MN∥平面A1ACC1；(3)求二面角N-MC-A的正弦值.∠ABC=90°应该是∠BAC=90°，打错了
是 ∠BAC=90° 不然怎么可能 AB=AC
以 AB、AC、AA1 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系数 A-xyz .
则 A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（0,2,0）,
A1（0,0,2）,B1（2,0,2）,C1（0,2,2）,
M（1,0,1）,N（1,1,2）.
（1）因为 A1M=（1,0,-1）,MC=（-1,2,-1）,
且 A1M*MC=-1+0+1=0 ,
所以 A1M丄MC .
（2）因为 AC=（0,2,0）,AA1=（0,0,2）,
而 MN=（0,1,1）=1/2*AC+1/2*AA1 ,
因此 MN//平面ACC1A1 .
（3）因为 AM=（1,0,1）,MC=（-1,2,-1）,
所以平面 AMC 的法向量为 n1=AM×MC=（-2,0,2）；
因为 MN=（0,1,1）,MC=（-1,2,-1）,
所以平面 MNC 的法向量为 n2=MN×MC=（-3,-1,1）,
由于 cos=n1*n2/(|n1|*|n2|)=(6+2)/(√8*√11) ,
因此,二面角 N-MC-A 的正弦为 √[1-(cos)^2]=√33/11 .
1.由题意可知啊A1C=A1B=BC=二倍根号二，所以为等边三角形，M中点，所以垂直
2由于AB=AC=AA1=2,所以B1B=AB,A1B1BA为正方形，m也是BA1的中点，有n是B1C1的中点，有MN∥A1C，所以MN∥平面A1ACC1。
3用直角坐标系做吧，我就不写了。