圆锥曲线的实际背景与应用500字

圆锥曲线的实际背景与应用500字
圆锥曲线的实际背景与应用
500字

圆锥曲线的实际背景与应用500字
解析几何与射影几何几乎同时在文艺复兴的法国产生,虽然产生于同一个时代,但实际背景和数学条件却很不一样．
解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用,促使人们对机械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题,这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学,实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法,望远镜与显微镜的发明,提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决,于是,人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了． 解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式,然后通过代数方程来表示和研究曲线．要做到这一点,得有数学自身的条件：一是几何学已出现解决问题的乏力状态；二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度． 几何学形成得很早,公元前3世纪产生了具有完整体系的欧几里得的《原本》．半个世纪后,古希腊另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥曲线论》．如果说《原本》的伟大功绩在于首次建立起几何学的完整演绎体系的话,那么阿波罗尼斯的8卷《圆锥曲线论》以其几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而永垂史册．可以这样说,在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中,没有一本达到像《圆锥曲线论》那样的对圆锥曲线研究得如此详尽的程度．
但是,像古希腊所有的几何学一样,阿波罗尼斯的几何是一种静态的几何．它既不把曲线看作是一种动点的轨迹,更没有给它以一般的表示方法．这种局限性在16世纪前,并没有引起注意,因为实践没有向几何学提出可能引起麻烦的课题．16世纪以后的情况就不同了．哥白尼（Copernicus,1473－1543）提出日心说,伽利略（Galileo,1564－1642）由物体运动的研究,得出惯性定律和自由落体定律,这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．地球绕太阳运转的轨道是椭圆、物体斜抛运动的轨道是抛物线,这些远不是靠建立在用平面截圆锥而得到的椭圆和抛物线的概念所能把握的．几何学要能反映这类运动的轨道的性质,就必须从观点到方法来一个变革,创立起一种建立在运动观点上的几何学．
16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．我们知道,解析几何的方法是在引进坐标的基础上,把由曲线所决定的两个坐标之间的关系用方程表示出来,通过对方程的研究来反映图形的性质．如果代数尚未符号化,那么即使煞费苦心地引进坐标概念,也不可能建立一般的曲线方程,发挥其具有普遍性的方法的作用．1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母,他不仅用字母表示未知数（这在他之前早有人做了）,而且用以表示已知数,包括方程中的系数和常数．这样,代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支,成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．当然,符号代数的形成不只出于韦达一人之手,他之前,斯台文等人曾为建立幂指数概念和符号的使用作出过努力,而像今天这样用a、b、c…表示已知数,用x、y、z…表示未知数却是笛卡尔创始的．总之,17世纪的社会背景和数学自身条件都为解析几何的创建作好了准备,它将等待创立者去完成．
费尔玛的贡献
解析几何是由费尔玛和笛卡尔分别创立的．1601年8月20日费尔玛（Fermat,1601－1665）生于法国图卢兹附近的一个皮革商家庭,大学时专攻法律,毕业后以当律师谋生,曾担任图卢兹地方议会议员和顾问三十余年． 费尔玛虽是一位业余数学家,而且认真研究数学还是在他30岁之后,但他却在17世纪数学史上独占鳌头．在牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前,他是为创立微积分作出贡献最多的人．事实上,如果要在牛顿、莱布尼兹之后再添上一位创立者名字的话,那么写上费尔玛是十分恰当的；他又与惠更斯、帕斯卡一起被誉为概率论的创始人；17世纪的数论更几乎是费尔玛的世界,著名的费尔玛大定理至今仍吸引着一批追求者．
从费尔玛与帕斯卡等人的通信中可知,早在笛卡尔的《几何》发表以前,费尔玛已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充．1630年,他把这一工作写成《平面与立体轨迹引论》一本小册子,其中费尔玛通过引进坐标,以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的语言――方程,从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质．
费尔玛所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同,它是斜坐标,而且也没有y轴．如考虑一条曲线和它上面的任一点P,选定一条以O为原点的射线,那么P就用线段OQ和PQ表示出来（见图 1）,它相当于我们现在所说的x与y． 如果仅就研究的对象而言,费尔玛与阿波罗尼斯并没有什么不同,不同的只是研究的方法．费尔玛的成功之处就在于他把阿波罗尼斯所发现的圆锥曲线的性质通过引进坐标译成了代数的语言,这不仅使得圆锥曲线从圆锥的附属地位解放了出来,而且使各种不同的曲线有了代数方程这种一般的表示方法和统一的研究手段．虽然坐标不是费尔玛发明的,将代数用于几何研究他也不是第一人,但是,除了费尔玛和笛卡尔以外,谁都没有把这两者结合起来,达到用代数方程来表示和研究几何曲线的程度．
笛卡尔的贡献
勒奈?笛卡尔（René Descartes,1596－1650）生于法国杜朗（Touraine）一个小镇的名门之家．笛卡尔从小多病,加上母亲去世早,更受父亲的溺爱．父亲答应他早睡晚起,这就养成了他在晨睡中进行思考的习惯．一则趣话说,他的坐标思想最早就是在朝寝中,躺在床上观察小虫从床顶爬向天花板时发现可以用天花板的框架作基准来确定运动中的小虫位置．
当时法国的习俗,名门出身的人常以在军界和教会里任职为荣,笛卡尔也于1617年在荷兰奥兰治（Orange）的利斯公爵的军队里当了一名骑兵士官．在这期间,有一次笛卡尔上街看到一张用荷兰文写的招贴,引起了他的好奇．正值这时走来了一个荷兰人,笛卡尔便向他询问了招贴里的意思．这个人是荷兰多尔德雷赫特（Dordrecht）大学的校长伊萨克?皮克曼（Isaac Beeckman）,校长告诉了笛卡尔招贴上所写的内容,同时也试探一下笛卡尔的数学水平．原来这是一张征解数学难题的广告,带有竞赛的味道．没想到笛卡儿却以不多的时间解答了这些问题,为此深受皮克曼的赞赏．从此极大地增强了笛卡尔学习数学的自信心,并与皮克曼保持了长久的友谊．
1619年正值欧洲“三十年战争”,笛卡尔随军来到德国多瑙河畔的诺伊堡（Neuberg）军营,这时他老是在想着他的哲学和数学问题．1619年11月10日他一连三次做梦构思着他的新哲学和坐标几何学,据说这个梦成了他人生的一个转折点,他决定离开军队去进行哲学和数学研究． 1621年笛卡尔辞去了军职,开始从事数学研究和光学仪器的制造．这期间他听取了几何学家笛沙格和米多尔奇（Mydorge,1585―1647）的讲课,受到很大的启发,同时还与旧友数学家梅尔生（Mersenne,1558―1648）重新建立了联系,接受帮助．
1629年,笛卡尔为避开在巴黎生活中的烦恼,移居到了荷兰．在这以后的20年间,他潜心进行了哲学和数学研究．前四年,他撰写了《宇宙》一书,这本以阐述宇宙物理学为主要内容的著作,也像以往论宇宙的著作一样,遭到了教会的反对和攻击．为了免受哥白尼等人那样的灾祸,笛卡尔只得将书稿搁置下来,直到1664年才发表．1633年～1637年,笛卡尔主要从事《方法论》一书,包括它的三篇附录《折光》、《气象》、《几何》的创作,于1637年6月8日在莱顿发表．书中,笛卡尔论述了正确思想方法的重要性．他认为数学是其他一切科学最可靠的思想方法,只有借助于数学而得出的结论才是可信的．笛卡尔的这一认识与培根宣扬的以实验为基础的归纳法,以两个不同的侧面成为促进早期资本主义时代科学技术发展的主要方法．
1641年与1644年,笛卡尔又先后发表了哲学名著《形而上学的沉思》和《哲学原理》．
笛卡尔的巨大成就使他的名望与日俱增,1647年他享受了直接接受法兰西皇帝供薪的荣誉．1649年他又受瑞典女皇克利斯蒂娜（Christina,1626―1689）的邀请,为女皇讲授数学．不幸在瑞典仅几个月,笛卡儿就得了肺炎而去世了．
笛卡尔的解析几何是作为《方法论》一书的附录《几何》出现的,这部分共三卷,第一卷题名为“关于只用圆和直线的作图可能问题”,它的前半部分介绍了用代数方法解解析几何问题的几个例子,尚未使用坐标,因此还不是真正的解析几何．后半部分通过解“帕普斯问题”的具体过程,介绍了解析几何方法,所谓笛卡尔解析几何主要就体现在这一部分中．第二卷题为“曲线的性质”,这里,笛卡尔在批判地吸收古希腊数学家的曲线分类思想的基础上,叙述了对曲线按方程的次数进行系统分类的方法．第三卷题为“关于立体和超立体的作图”,介绍了利用圆锥曲线在代数方法下解立体问题的方法,其中包括笛卡尔在代数学上的两个著名结果：“代数学基本定理”以及“笛卡尔符号法则”． 笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样,给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程,但是他通过具体的实例,确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整,但是在本质上它却是地道的解析几何． 笛卡尔表达解析几何的例子,是他对帕普斯（Pappus,约3世纪）问题的解法．帕普斯问题是这样的：“设给定四条直线AB、AD、EF、GH,然后从某点C引直线CB、CD、CF、CH,各与一条所给定直线构成已知角CBA、CDA、CFE、CHG．要求满足CB?CF=CD?CH（*）的点的轨迹．”如图 2．
笛卡尔的解法是：先假定点已经找出来了,为了使问题有个一般的形式,他采取了一个重大的步骤,即把给定直线之一与所求直线之一,例如AB与BC作为主线来考虑,然后使其他的线与它们发生关系．这相当于将AB与BC选作坐标轴． 笛卡尔记AB为x,BC为y,因为三角形ARB的所有的角都是给定的,所以边AB与BR的比一定．若令AB：BR=z：b,那么由于AB=x,因此BR=．因为B在C与R之间,所以CR=y+．假如R在C与B之间,则CR=y-．假如C在B与R之间,则CR=-y+．根据同样的思想,考虑三角形DRC、ESB及FSC,分别提出： ． 注意到CB、CD、CF、CH都是关于未知数x、y的一次式,因此把它们代入(*)时,等式两边关于x、y的次数都不会高于二次．即满足帕普斯问题的C点轨迹方程的一般形式应是： y2=Ay+Bxy+Cx+Dx2．
其中A、B、C、D是由已知量组成的简单的代数式．然后,笛卡尔强调指出：“如果我们逐次地给线段y以无限多个不同的值,对于线段x也可找到无限个值．这样被表示出来的C点就可以有无限多个,由此可把所求的曲线表示出来．”
就这样,笛卡尔把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来了,并在数学中引入了变量的思想,从而完成了数学史上一项划时代的变革．这一工作不仅使整个古典几何领域处于代数学的支配之下,而且从此开拓了一个变量数学领域,从而加速了微积分的成熟．
恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想．他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生了……”