设θ属于[0,π/2],且cos^2θ+2msinθ-2m-2是cosθ的平方,不是2cosθ

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 00:20:38
设θ属于[0,π/2],且cos^2θ+2msinθ-2m-2是cosθ的平方,不是2cosθ设θ属于[0,π/2],且cos^2θ+2msinθ-2m-2是cosθ的平方,不是2cosθ设θ属于[0

设θ属于[0,π/2],且cos^2θ+2msinθ-2m-2是cosθ的平方,不是2cosθ
设θ属于[0,π/2],且cos^2θ+2msinθ-2m-2
是cosθ的平方,不是2cosθ

设θ属于[0,π/2],且cos^2θ+2msinθ-2m-2是cosθ的平方,不是2cosθ
用分离变量法可避开分类讨论的麻烦:
显然,θ=π/2时,不等式恒成立.
当θ∈[0,π/2)时,不妨设sinθ=t,则
t∈[0,1),(cosθ)^2=1-t2,
于是,原式化为
1-t2+2mt-2m-2(-1/2)[(1-t)+2/(1-t)]+1.
由于对勾函数f(x)=x+(2/x)在x∈(0,√2]单调递减,
且0(-1/2)[(1-t)+2/(1-t)]+1恒成立,
∴m取值范围是m>-1/2,即m∈(-1/2,+∞).

原式=1-2sinΘ2+2msinΘ-2m-2<0
即 2 sinΘ2-2msinΘ+2m+1>0
令x=sinΘ
即F(x)=2x2-2mx+2m+1,x在【0,1】时f(x)>0
F(x)=2(x-m/2)2-m2/2+2m+1
当 m/2<=0即m<=0
F(0)>0 得m>-1/2 即 -1/2当0

全部展开

原式=1-2sinΘ2+2msinΘ-2m-2<0
即 2 sinΘ2-2msinΘ+2m+1>0
令x=sinΘ
即F(x)=2x2-2mx+2m+1,x在【0,1】时f(x)>0
F(x)=2(x-m/2)2-m2/2+2m+1
当 m/2<=0即m<=0
F(0)>0 得m>-1/2 即 -1/2当0-m2/2+2m+1>0 得 m<2-sqrt(6) 或m>2+sqrt(6)
即 0当 1<=m/2 即2<=m
F(1)>0 恒成立
即 2<=m
综上
-1/2=2

收起