矩形ABCD,∠ACD=30°,点E为矩形ABCD的边BC上一动点,∠EAD的平分线交CD于点F,过点A作EA的垂线交CD的延长线于点G.（1）如图1,求证；AG=DF+√3 / 3 *BE（2）当点E与点C重合时,如图2,点H 在GA的延长线上,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 22:34:55
矩形ABCD,∠ACD=30°,点E为矩形ABCD的边BC上一动点,∠EAD的平分线交CD于点F,过点A作EA的垂线交CD的延长线于点G.（1）如图1,求证；AG=DF+√3 / 3 *BE（2）当点E与点C重合时,如图2,点H 在GA的延长线上,
矩形ABCD,∠ACD=30°,点E为矩形ABCD的边BC上一动点,∠EAD的平分线交CD于点F,过点A作EA的垂线交CD的延长线于点G.
（1）如图1,求证；AG=DF+√3 / 3 *BE
（2）当点E与点C重合时,如图2,点H 在GA的延长线上,连接BH,点M为BH中点,连接FM,FM=√21 ,连接HC交AB于点N,若tan∠BCH=5√3 / 9 求HN的长
矩形ABCD,∠ACD=30°,点E为矩形ABCD的边BC上一动点,∠EAD的平分线交CD于点F,过点A作EA的垂线交CD的延长线于点G.（1）如图1,求证；AG=DF+√3 / 3 *BE（2）当点E与点C重合时,如图2,点H 在GA的延长线上,
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,AB=CD,
在Rt△ACD中,
∵∠ACD=30°,CD=根号3AD,∴AB=根号3AD,
∵AE⊥AG,
∴∠EAG=∠BAD=90°,
∴∠BAE+∠EAD=90°,∠GAD+∠EAD=90°,
∴∠BAE=∠GAD,
∵∠B=∠ADG=90°,
∴△BAE∽△DAG,
∴ AB /DA =BE/DG ,∴DG=3/根号3BE,
∵∠EAF=∠FAD,AB∥CD,
∴∠BAF=∠FAG=∠AFG,
∴AG=FG,
∴AG=FG=DF+DG=DF+ 根号3/3BE．
（2）在Rt△ABC中,∠BCA=60°,由（1）可知,∠G=∠BCA=60°,∠DAG=30°,
∴∠BAG=120°,
∴∠BAF=∠AFG=∠FAG=∠G=60°,
∴△AFG为等边三角形,过点H作HK⊥CD于点K,HK∥BC,
∴∠CHK=∠BCH,
∴tan∠CHK=
5倍根号3/9 设CK=5倍根号3x,则HK=9x,在Rt△HKG内,∠G=60°,KG=3倍根号3x,
HG=6倍根号3x,CG=8倍根号3x,
∠FAC=∠ACF=30°,
∴AF=FC=2DF,
∴CD=AB=HG=6倍根号3x,连接FH,FB,∠BAF=∠HGF=60°,FG=FA,
∴△HGF≌△BAF,
∴FB=FH,∠BFA=∠HFG,
∴∠BFH=∠AFG=60°,
∴△BFH为等边三角形,
∴FM⊥BH,
∵∠FBH=60°,
∴FH= 2/根号3FM=2倍根号7,FC=4倍根号3x,FK= 根号3x,
在Rt△FHK内,FH^2=FK^2+HK^2,∴x=根号3/3 ,∴HK=3倍根号3,
CK=5,在Rt△CHK内,CH=2倍根号13,
由AN∥CG,∴ HN/HC = HA/HG =1/3 ,
∴HN= 2倍根号13/3 ．
