过x轴上动点A（a,0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP AQ,P Q为切点,设切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2(1)求证：k1k2=-4（2）求证：直线PQ恒过定点,并求出此点坐标（3）设三角形APQ的面积为S,当S/PQ最小时,求
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:45:07
过x轴上动点A（a,0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP AQ,P Q为切点,设切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2(1)求证：k1k2=-4（2）求证：直线PQ恒过定点,并求出此点坐标（3）设三角形APQ的面积为S,当S/PQ最小时,求
过x轴上动点A（a,0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP AQ,P Q为切点,设切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2
(1)求证：k1k2=-4
（2）求证：直线PQ恒过定点,并求出此点坐标
（3）设三角形APQ的面积为S,当S/PQ最小时,求向量AQ点击向量AP的值
过x轴上动点A（a,0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP AQ,P Q为切点,设切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2(1)求证：k1k2=-4（2）求证：直线PQ恒过定点,并求出此点坐标（3）设三角形APQ的面积为S,当S/PQ最小时,求
分析：
1）设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(xo,yo)
则有x1+x2=2xo,y1+y2=2yo
对方程y=x^2+1求导y'=2x
则有k1=2x1,k2=2x2
可设两切线方程为
AP:y=2x1(x-x1)+y1.(1)
AQ:y=2x2(x-x2)+y2.(2)
又y1=x1^2+1.(3)
y2=x2^2+1.(4)
联立4式易解得交点A坐标
xA=(x1+x2)/2=xo=a
yA=x1x2+1=0
得到x1x2=-1
那么k1*k2=4x1x2=-4（得证）
2）由(3)(4)可得PQ斜率（一定存在）
k(PQ)=(y1-y2)/(x1-x2)=x1+x2=2xo=2a
则PQ方程可设为
y=2xo(x-xo)+yo=2xox-2xo^2+yo.(5)
又2yo=y1+y2
=x1^2+x2^2+2
=(x1+x2)^2-2x1x2+2
=4xo^2+4
有yo=2xo^2+2
则(5)可写为
y=2xox+2或y=2ax+2
易知直线PQ过定点N(0,2).
3）A(a,0)到直线PQ:2ax-y+2=0的距离
d=2|a^2+1|/sqrt(1+4a^2)
令1/(a^2+1)=t,0