二重积分求球面积用极坐标表示
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:19:49
二重积分求球面积用极坐标表示
二重积分求球面积用极坐标表示
二重积分求球面积用极坐标表示
二重积分下,被积函数为常数1,积分区域取xoy面上圆心为（0,0）且半径为R的圆.所求得的二重积分便是球体的表面积.（积分符号前乘以2是因为球面曲线Z有正负之分,所以要上半球面和下半球面分开积分.）
求半径是R的球的表面积。
以此球的球心为坐标原点建立直角坐标系，
则此球的表达式为 x²+y²+z²=R²
根据球体的对称性质知，球体全部表面积等于它在第一卦限表面积的8倍
∵z=√(R²-x²-y²)
==>αz/αx=-x/√(R&...
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求半径是R的球的表面积。
以此球的球心为坐标原点建立直角坐标系，
则此球的表达式为 x²+y²+z²=R²
根据球体的对称性质知，球体全部表面积等于它在第一卦限表面积的8倍
∵z=√(R²-x²-y²)
==>αz/αx=-x/√(R²-x²-y²)，αz/αy=-y/√(R²-x²-y²)
∴dS=√(1+(αz/αx)²+(αz/αy)²)dxdy=Rdxdy/√(R²-x²-y²)
故 此球的表面积=8∫∫
=8R∫∫
=8R∫<0,π/2>dθ∫<0,R>rdr/√(R²-r²) (极坐标变换)
=-2πR∫<0,R>d(R²-r²)/√(R²-r²)
=-2πR[2√(R²-r²)]│<0,R>
=-2πR(2*0-2*R)
=4πR²。
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