如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 01:16:40
如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．
如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．
如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．
证明：（1）∵∠ACB=∠ECD,
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE,
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC,DC=EC,
∴△ACE≌△BCD．
（2）∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD,
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB,
∴AD2+DB2=DE2．
解答（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．（2分）
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．（3分）
在△ACE和△BCD中
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．（...
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解答（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．（2分）
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．（3分）
在△ACE和△BCD中
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．（5分）
（2）又∠BAC=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形（8分）
∴DE=
AE2+AD2
=
122+52
=13．（10分）
分析：（1）根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以 点评：△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE长度．
本题第一问利用边角边定理证明三角形全等，第二问利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．
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证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，<...
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证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2．
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