a,b,c,m,k∈R,a^2+b^2+c^2=m,求S=a+b+c+kabc的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/01 12:12:42
a,b,c,m,k∈R,a^2+b^2+c^2=m,求S=a+b+c+kabc的取值范围.
a,b,c,m,k∈R,a^2+b^2+c^2=m,求S=a+b+c+kabc的取值范围.
a,b,c,m,k∈R,a^2+b^2+c^2=m,求S=a+b+c+kabc的取值范围.
当k>0时,由均值易证.当k
本来想了个模型,在球内找一个内接四边形,寻找周长加k'倍的体积的最值。
暂时然后没啥想法。
还是纯暴力咯,用拉格郎日数乘法(暴力万能的不等式题做法^_^),可以得到非常简单的结果,也就是abc相等的情况下,取极值,然后找端点值代入比较即可。
现在在上课,你觉得这种方法可以接受,我回去给你详细的过程。...
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本来想了个模型,在球内找一个内接四边形,寻找周长加k'倍的体积的最值。
暂时然后没啥想法。
还是纯暴力咯,用拉格郎日数乘法(暴力万能的不等式题做法^_^),可以得到非常简单的结果,也就是abc相等的情况下,取极值,然后找端点值代入比较即可。
现在在上课,你觉得这种方法可以接受,我回去给你详细的过程。
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a^2+b^2+c^2=m 2a^2+2b^2+2c^2=2m
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
3a^2+3b^2+3c^2≥2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2 即:3m≥(a+b+c)²
-√(3m)≤ a+b+c ≤√(3m)
a^2=b^2=c^2=m/3 a=b=c=±√(3m)/3 故:-...
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a^2+b^2+c^2=m 2a^2+2b^2+2c^2=2m
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
3a^2+3b^2+3c^2≥2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2 即:3m≥(a+b+c)²
-√(3m)≤ a+b+c ≤√(3m)
a^2=b^2=c^2=m/3 a=b=c=±√(3m)/3 故:-[√(3m)/3 ]^3≤abc≤[√(3m)/3 ]^3
即:- m√(3m)/9≤abc≤m√(3m)/9
- km√(3m)/9≤kabc≤km√(3m)/9 (k>0时)
- (km+9)√(3m)/9≤a+b+c+kabc≤(km+9)√(3m)/9
即:- (km+9)√(3m)/9 ≤ S ≤ (km+9)√(3m)/9 (k>0时)
祝你学习进步,更上一层楼! (*^__^*)
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彻底傻眼.........
想象一个模型,空间直角坐标系
没看懂的噻
这个我也不会啊 好像有点难
肥仔!
a^2+b^2+c^2=m ≥ 0
2a^2+2b^2+2c^2=2m
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
3a^2+3b^2+3c^2≥2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2
即:3m≥(a+b+c)²
-√(3m)≤ a+b+c ≤√(3m)
a^2=b^2=c^2=m/3
a=b...
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a^2+b^2+c^2=m ≥ 0
2a^2+2b^2+2c^2=2m
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
3a^2+3b^2+3c^2≥2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2
即:3m≥(a+b+c)²
-√(3m)≤ a+b+c ≤√(3m)
a^2=b^2=c^2=m/3
a=b=c=±√(3m)/3
故:-[√(3m)/3 ]^3≤abc≤[√(3m)/3 ]^3
即:- m√(3m)/9≤abc≤m√(3m)/9
k>0时
- km√(3m)/9≤kabc≤km√(3m)/9
- (km+9)√(3m)/9≤a+b+c+kabc≤(km+9)√(3m)/9
即:- (km+9)√(3m)/9 ≤ S ≤ (km+9)√(3m)/9
k<0时
km√(3m)/9≤kabc≤-km√(3m)/9
(km-9)√(3m)/9≤a+b+c+kabc≤(-km+9)√(3m)/9
即:(km-9)√(3m)/9 ≤ S ≤ (-km+9)√(3m)/9
K=0时
kabc=0
s=a+b+c
即:-√(3m)≤ S ≤√(3m)
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(Ⅰ)∵ ,
∴ ,即 ,即 .
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形.
∴sinA+sinB=sinA+cosA= sin(A+ ),A∈(0, ),
∴sinA+sinB的取值范围为 .-------------------------------------------(6分)
(Ⅱ)在直角△ABC中,a=csinA,b=ccosA.
若a...
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(Ⅰ)∵ ,
∴ ,即 ,即 .
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形.
∴sinA+sinB=sinA+cosA= sin(A+ ),A∈(0, ),
∴sinA+sinB的取值范围为 .-------------------------------------------(6分)
(Ⅱ)在直角△ABC中,a=csinA,b=ccosA.
若a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,对任意的满足题意的a、b、c都成立,
则有 ≥k,对任意的满足题意的a、b、c都成立,
∵= [c2sin2A(ccosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]
= [sin2AcosA+cos2A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+令t=sinA+cosA,t∈ ,-----------------------------------------(10分)
设f(t)= =t+ =t+ =t-1+ +1.
f(t)=t-1+ +1,当t-1∈ 时 f(t)为单调递减函数,
∴当t= 时取得最小值,最小值为2+3 ,即k≤2+3 .
∴k的取值范围为(-∞,2+3 ].--------------------------(14分
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和公道话
不会...
设a^2>=b^2>=c^2
2bc<=2m/3=>t=bc<=m/3
S^2={a(1+kac)+(b+c)}^2<={(1+kac)^2+1}{a^2+(b+c)^2}
=(2+2kt+k^2t^2)(m+2t)
=2k^2t^3+(mk^2+4k)t^2+(2mk+4)t+2m
令f(t)=2k^2t^3+(mk^2+4k)t^2+(2mk+4)t+2...
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设a^2>=b^2>=c^2
2bc<=2m/3=>t=bc<=m/3
S^2={a(1+kac)+(b+c)}^2<={(1+kac)^2+1}{a^2+(b+c)^2}
=(2+2kt+k^2t^2)(m+2t)
=2k^2t^3+(mk^2+4k)t^2+(2mk+4)t+2m
令f(t)=2k^2t^3+(mk^2+4k)t^2+(2mk+4)t+2m
f'(t)=6k^2t^2+2(mk+4)kt+(2mk+4)
当K=0时,则a+b+c∈[-sqrt(3m),sqrt(3m)]
当△=4(mk+4)^2k^2-24(2mk+4k)k^2>0时,
==>m^2k^2-4mk-8>0
令f‘(t)=0
t_1=[-2(mk+4)k+sqrt{4(mk+4)^2k^2-24(2mk+4k)k^2}]/12k^2
t_2=[-2(mk+4)k-sqrt{4(mk+4)^2k^2-24(2mk+4k)k^2}]/12k^2
然后像讨论根的分布一样讨论
当△=4(mk+4)^2k^2-24(2mk+4k)k^2<0时
===>m^2k^2-4mk-8<0
不想再算下去了
你自己算算...
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这货已经傻了...
值得学习下!!
我是过来学习的!!
这是几年级的题啊?我初二,不会
原式
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c-(a-b)][c+(a-b)](a+b-c)=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c^2-(a-b)^2](a+b-c)
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[c(a+b-c)+c^2-(a-b)^2]
=a(b+c-a)^2+b(c+...
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原式
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c-(a-b)][c+(a-b)](a+b-c)=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c^2-(a-b)^2](a+b-c)
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[c(a+b-c)+c^2-(a-b)^2]
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[ac+bc+2ab-a^2-b^2]
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[a(b+c-a)+b(c+a-b)]
=a(b+c-a)[(b+c-a)+(a+b-c)]+b(c+a-b)[(c+a-b)+(a+b-c)]
=a(b+c-a)2b+b(c+a-b)2a
=2ab[(b+c-a)+(c+a-b)]
=2ab2c
=4abc
另
令a=0,得:M+N=0,知M+N含因式a,同理M+N含因式b、c,又因为M+N的最高次数为三,故M+N可表示成kabc的形式,其中k为待定系数,令a=b=c=1,代人M+N=kabc解得k=4,可知M+N=4abc
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讨论k的三种情况:
1、当k=0时,S=a+b+c,此时利用柯西不等式很容易得到(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)=3m>=(a+b+c)^2,所以-sqrt(3m)<=(a+b+c)<=sqrt(3m),所以此时S的范围就是(-sqrt(3m),sqrt(3m))
2、当k>0时,S=a+b+c+kabc,利用不等式性质中的“代数平均数>=几何平均数”,可以...
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讨论k的三种情况:
1、当k=0时,S=a+b+c,此时利用柯西不等式很容易得到(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)=3m>=(a+b+c)^2,所以-sqrt(3m)<=(a+b+c)<=sqrt(3m),所以此时S的范围就是(-sqrt(3m),sqrt(3m))
2、当k>0时,S=a+b+c+kabc,利用不等式性质中的“代数平均数>=几何平均数”,可以得到:(a^2+b^2+c^2)/3>=cube(a^2*b^2*c^2)(注:cube()这个符号是开立方根的意思,下面如果出现也是这个意思),化简得:-m*sqrt(3m)/9<=abc<=m*sqrt(3m)/9,当且仅当a=b=c=sqrt(3m)/3的时候,abc取到最大值m*sqrt(3m)/9,a=b=c= -sqrt(3m)/3时,abc取到最小值-m*sqrt(3m)/9;再利用k=0时讨论的柯西不等式得到:-sqrt(3m)<=(a+b+c)<=sqrt(3m),也是当且仅当a=b=c=sqrt(3m)/3的时候,a+b+c取到最大值sqrt(3m),a=b=c= -sqrt(3m)/3时,a+b+c取到最小值-sqrt(3m);所以S的这两个部分取到最大值和最小值的条件都一样,那么可以合并起来:当且仅当a=b=c=sqrt(3m)/3的时候,S取到最大值sqrt(3m)*(mk/9+1),a=b=c= -sqrt(3m)/3时,S取到最小值- sqrt(3m)*(mk/9+1);这时S的范围就是(-sqrt(3m)*(mk/9+1),sqrt(3m)*(mk/9+1))
补充说明:关于1中的柯西不等式和2中的不等式性质的证明请分别看以下两个网址:
http://baike.baidu.com/view/7618.htm
http://baike.baidu.com/view/441784.htm
3、当K<0时,S=a+b+c+kabc,这时情况比较复杂,我用的是多元函数微分中的拉格朗日乘数法来解,具体过程如下:
此时限制条件为a^2+b^2+c^2-m=0,要求最值的函数为F(a,b,c)=a+b+c+kabc (k<0)
作拉格朗日函数L(a,b,c,ƛ)=a+b+c+kabc+ ƛ(a^2+b^2+c^2-m)
通过函数L(a,b,c, ƛ)对a,b,c,ƛ分别求偏导,可以构造以下四个方程组成一个方程组:
δL/δa=1+kbc+2 ƛa=0
δL/δb=1+kac+2 ƛb=0
δL/δc=1+kab+2 ƛc=0
δL/δƛ=a^2+b^2+c^2-m=0
经过一番计算,可以算出有四个
(1)、a=b=c= sqrt(3m)/3或- sqrt(3m)/3 此时 ƛ=-(3sqrt(3m)-m*k*sqrt(3m))/2;而S=sqrt(3m)*(1+mk/9)(简写这个数为A)或sqrt(3m)*(1+mk/9)(简写这个数为B)
(2)、a=b=1/4*sqrt(m*(3+sqrt(3))或sqrt(m*(3-sqrt(3))/16),c=1/2*sqrt(m*(5+sqrt(3))/2)或1/2*sqrt(m*(5-sqrt(3))/2),此时ƛ=(-16-(3+sqrt(3))*m*k)/(8srqt(2(5-sqrt(3))))或(-16-(3-sqrt(3))*m*k)/(8srqt(2(5+sqrt(3))));而S=1/4*sqrt(2m)*(sqrt(3+sqrt(3))+sqrt(5-sqrt(3)))+1/32*k*m*sqrt(m)*(3+sqrt(3))*sqrt(5-sqrt(3))(简写这个数为C)或1/4*sqrt(2m)*(sqrt(3-sqrt(3))+sqrt(5-sqrt(3)))+1/32*k*m*sqrt(m)*(3+sqrt(3))*sqrt(5+sqrt(3)) (简写这个数为D)
现在就要比较不同情况下数A、B、C、D的大小了:
通过计算可以得到:①、A>C恒成立
②、当k<-9/m时,A>B
③、当φ1
④、当φ2
⑤、当φ3
⑥、当φ4
(注:以上各个分点均为计算出来的临界点,其中:
φ1=-32*(sqrt(11)-sqrt(3)-sqrt(2))/(m*((3+sqrt(3))*sqrt(5-sqrt(3))-(3-sqrt(3))*sqrt(5+sqrt(3))))
φ2=-(sqrt(3)-1/4*sqrt(2)*(sqrt(3-sqrt(3))+sqrt(5+sqrt(3))))/(m*(1/9*sqrt(3)-1/32*(3-sqrt(3))*sqrt(5+sqrt(3))))
φ3=-(1/4*sqrt(2)*(sqrt(3-sqrt(3))+sqrt(5+sqrt(3))))/(m*(1/9*sqrt(3)+1/32*(3-sqrt(3))*sqrt(5+sqrt(3))))
φ4=-(1/4*sqrt(2)*(sqrt(3+sqrt(3))+sqrt(5-sqrt(3))))/(m*(1/9*sqrt(3)+1/32*(3+sqrt(3))*sqrt(5-sqrt(3))))
φ1约为-1,φ2约为-4,φ3约为-10,φ4约为-6.8)
所以,画个数轴在简单推理一下,就可以得到结论了:
当0
补充说明:关于拉格朗日乘数法请看下面的网址:
http://baike.baidu.com/view/1211517.htm
PS:很有趣的一道题,花了我将近1个小时来做,又花了40多分钟来整理和写下过程,也许一开始还是因为LZ给的高分太诱人,然而当用拉格朗日乘数法暴力破解算了N久、在一堆根号里搞了半天以后,做出和做对这道题已经成为我的执着,希望LZ甭管采不采纳,至少认真的看一遍我的解题过程,如果有答案,请告诉我对还是错,错的话错在哪里,谢谢!
收起
我是来取经的~~
NB了,赶紧给那人分啊,帮你那么多
利用大学的条件极值看看吧
gfhkvc