二元函数可导与极限的关系,最好有实例,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 19:50:11
二元函数可导与极限的关系,最好有实例,
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二元函数可导与极限的关系,最好有实例,
二元函数偏导连续是最强的,等价于此点附近的小面是光滑的,即任何一个方向的导数都是存在的.偏导连续可推出可微和偏导数存在,反之不可,可微等价于此点的切平面存在也等价于法向量存在,也只有可微才能写出dz=fx'dx+fy'dy的形式.偏导存在等价于两个方向的切线存在.可微能推出偏导存在,反之不可.
最好把书本上的可微、可导,连续,偏导的定义吃透,那就没问题了
例1.证明函数f（x,y）=在原点的连续性,但偏导数不存在.
证明：由=0=f（0,0）,故f（x,y）=在点（0,0）连续.由偏导定义知：==1当△x＞0-1当△x＜0极限不存在.故f（x,y）在点（0,0）关于x的偏导数不存在,同理可证f（x,y）在点（0,0）关于y的偏导数也不存在.
例2.证明函数f（x,y）=,x+y≠00,x+y=0在点（0,0）处偏导存在,但不连续.
证明：由偏导定义得：
f（x,y）==0
f（x,y）==0
故f（x,y）在点（0,0）处偏导存在.取y=mx（m≠0）,则f（x,y）=f（x,mx）=.
故f（x,y）在点（0,0）处极限不存在,故不连续.
由此两例可知,对于二元函数而言,偏导存在和连续之间没有必定的联系.
二、可微必偏导存在,但偏导存在不一定可微
定理1：若函数z=f（x,y）在P（x,y）可微,则它在该点存在两个偏导数A,B且A=f（x,y）.
证明：设z=f（x,y）在P（x,y）可微,即由定义知：△z=A△x+B△y+o（ρ）其中ρ=,求x的偏导y可视为常量,不妨令△y=0,则ρ=|△x|,有△z=f（x+△x,y+△y）-f（x,y）=A△x+o（|△x|）
故==A
同理：=B,定理得证.
由此定理可知,可微必偏导存在,但反之不一定成立,如下例.
例3.证明函数f（x,y）=,x+y≠00,x+y=0在点（0,0）处偏导存在,但微.
证明：由偏导定义得：
f（x,y）==0
f（x,y）==0
故f（x,y）在点（0,0）关于x,y的偏导数都存在.
△z-［f（0,0）△x-f（0,0）△y］=
令△y=△x,则有==
故由可微定义知f（x,y）在点（0,0）微.
由此可知,对于二元函数而言,可微必偏导存在,但是偏导存在不一定可微.
三、可微必连续,连续不一定可微
定理2：设函数z=f（x,y）在P（x,y）可微,则函数在该点必连续.
证明：f(x+△x,y+△y)=［f（x,y）+△z］=f（x,y）
定理得证.
由定理2知,可微必连续,但是反之不一定成立,如上例题3.由=0=f（0,0）,故f（x,y）在点（0,0）处连续,但是微.
推论1：不连续必微.
二元函数可导的条件是什么，即偏导数都存在的条件，如果偏导数都存在于一点，那么 在这一点不一定存在极限，反过来也一样在某点当（x，y）以任何途径趋于某点，存在极限，不一定存在偏导数，例如y=2xy/x平方+y平方也就是说可导既不是极限存在的充分条件也不是必要条件，对吗？是的...
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二元函数可导的条件是什么，即偏导数都存在的条件，如果偏导数都存在于一点，那么 在这一点不一定存在极限，反过来也一样在某点当（x，y）以任何途径趋于某点，存在极限，不一定存在偏导数，例如y=2xy/x平方+y平方
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