已知动点P到定点F(1,0)的距离比它到直线x+2=0的距离小1,若记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程（2）若直线L与曲线C香蕉于A、B两点,且OA⊥OB.求证：直线L过定点,并求出该顶点的坐标（3）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 16:39:04
已知动点P到定点F(1,0)的距离比它到直线x+2=0的距离小1,若记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程（2）若直线L与曲线C香蕉于A、B两点,且OA⊥OB.求证：直线L过定点,并求出该顶点的坐标（3）
已知动点P到定点F(1,0)的距离比它到直线x+2=0的距离小1,若记动点P的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程
（2）若直线L与曲线C香蕉于A、B两点,且OA⊥OB.求证：直线L过定点,并求出该顶点的坐标
（3）试将（2）小题的结论进行推广,并证明你所推广的结论.
已知动点P到定点F(1,0)的距离比它到直线x+2=0的距离小1,若记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程（2）若直线L与曲线C香蕉于A、B两点,且OA⊥OB.求证：直线L过定点,并求出该顶点的坐标（3）
1)
P到定点F(1,0)的距离比它到直线x+2=0的距离小1 ,点在x正半轴 ,直线在x负半轴,
因此,P到定点F(1,0)的距离 = 它到直线x+1=0的距离 ,故P的轨迹是抛物线 ,
易得方程：y^2 = 4x
2)
设A(x1,y1)、B(x2,y2)
当直线斜率存在时,可设为k ,故直线可表示为y = kx + b ,联立抛物线方程可得：
k·y^2 = 4y - 4b 和 (kx + b)^2 = 4x
整理：ky^2 - 4y + 4b = 0 和 k^2·x^2 + (2kb - 4)x + b^2 = 0
根据韦达定理：y1y2 = 4b/k ,x1x2 = b^2/k^2
∵OA⊥OB ,∴k(OA)·k(OB) = -1 = (y1/x1)·(y2/x2) = (y1y2)/(x1x2) = 4k/b
∴b = -4k ,故直线可表示为 y = kx - 4k = k(x - 4) ,当x = 4时 ,y = 0
当直线斜率不存在时,直线为x = m ,此时O、A、B构成等腰直角三角形,由勾股定理解得m = 4
因此 ,点(4 ,0)就是所求的定点
3)
推广结论：对于给定的抛物线y^2 = 2px ,若原点O与抛物线上未知两点M、N斜率之积为非0实数q,则直线MN必过x轴上一定点,且横坐标由p、q确定.
证明如下：
设M(x1,y1)、N(x2,y2)
当直线斜率存在时,可设为K ,故直线可表示为y = Kx +B(注：K不可能为0,否则构不成抛物线) ,代入直线方程：(KX + B)^2 = 2px ,2py = Ky^2 + 2pB
∴K^2·x^2 + (2KB - 2p)x + B^2 = 0 ,Ky^2 - 2py + 2pB = 0
x1x2 = B^2/K^2 ,y1y2 = 2pB/K ,则q = y1y2/x1x2 = 2pK/B ,∴B = 2pK/q
直线变为：y = K[X + (2p/q)] ,则所求定点为：(-2p/q ,0)
当直线斜率不存在时,方法类似,恕不赘述.
证毕.