已知m^2+n^2=1,x^2+y^2=9,则mx+ny的值域是?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 22:50:00
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已知m^2+n^2=1,x^2+y^2=9,则mx+ny的值域是?
最简单的方法：三角换元法.
由m^2+n^2=1,设m=sinα,n=cosα,这里α∈R,
由x^2+y^2=9,设x=3sinβ,y=3cosβ,这里β∈R.
则mx+ny=3sinαsinβ+3cosαcosβ=3sin(α+β),
∵|sin(α+β)|≤1,
∴|mx+ny|≤3
∴-3≤mx+ny≤3.
即mx+ny的值域是[-3,3].

[-6,6],你可以把M，N看做直径为1的圆，X，Y是直径为3的圆，就不难得出结论了。

柯西不等式可解


建立坐标系，其中m^2+n^2=1是以（0、0）为圆心，半径为1的圆
x^2+y^2=9是以（0、0）为圆心，半径为3的圆
运用两点之间的距离公式
（x-m）^2+(y-n)^2大于等于4（大圆半径减小圆半径）小于等于16（大圆半径加小圆半径）
将不等式...

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建立坐标系，其中m^2+n^2=1是以（0、0）为圆心，半径为1的圆
x^2+y^2=9是以（0、0）为圆心，半径为3的圆
运用两点之间的距离公式
（x-m）^2+(y-n)^2大于等于4（大圆半径减小圆半径）小于等于16（大圆半径加小圆半径）
将不等式化简得
x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2大于等于4小于等于16
将已知数据代入
-2（mx+ny）+9+1大于等于4
mx+ny小于等于3
-2（mx+ny）+9+1小于等于16
mx+ny大于等于-3
或用柯西不等式

收起

用柯西不等式得：(mx+ny)^2≤（m^2+n^2）（x^2+y^2）=1*9
则：mx+ny的取值为
-3≤mx+ny≤3
柯西不等式为：（a1^2+a2^2+……+an^2）（b1^2+b2^2+……+bn^2）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）^2
慢慢琢磨吧！！

用柯西不等式有
( mx+ny)^2<=(m^2+n^2)(x^2+y^2)=1*9=9
所以 -3<= mx+ny<=3

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