要设计一个容积为v的圆柱形水池,已知低的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半,问：如何设计水池的底半径和高,才能使总造价最少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 12:44:08
要设计一个容积为v的圆柱形水池,已知低的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半,问：如何设计水池的底半径和高,才能使总造价最少?
要设计一个容积为v的圆柱形水池,已知低的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半,问：如何设计水池的底半径和高,才能使总造价最少?
要设计一个容积为v的圆柱形水池,已知低的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半,问：如何设计水池的底半径和高,才能使总造价最少?
容积=hπr^2=V
设地面半径为r
h=v/πr^2
造价=1/2 * πr^2 + 2πr*h
=πr^2/2+2πr*v/πr^2
=πr^2/2+2v/r
对r求导数
2πr/2 -2v/r^2=0
πr=2v/r^2
r^3=2v/π
当r=立方根下2v/π时
有造价最低
设底面半径为r,高为h
则πr^2h=v
设地面每单位面积造价为a ,则侧面单位造价为a/2
总造价w=a*πr^2+(a/2)*2πrh
=aπ(r^2+rh)
h=v/πr^2
代入得w=aπ(r^2+v/πr)
=aπ(r^2+v/2πr+v/2πr)>=3aπ*3次根号下(r^2*v/2πr*v/2πr)<...
全部展开
设底面半径为r,高为h
则πr^2h=v
设地面每单位面积造价为a ,则侧面单位造价为a/2
总造价w=a*πr^2+(a/2)*2πrh
=aπ(r^2+rh)
h=v/πr^2
代入得w=aπ(r^2+v/πr)
=aπ(r^2+v/2πr+v/2πr)>=3aπ*3次根号下(r^2*v/2πr*v/2πr)
=3aπ*3次根号下(v^2/4π^2)
等号成立条件为r^2=v/2πr
既r=3次根号下(v/2π）时造价最小 h=v/πr^2 将r代入
收起
厉害！