暑假新时空高一数学在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,角BAD=90度,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA垂直面ABCD,PD与底面成30度角,求异面直线与所成角的余弦值.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/24 10:22:33

暑假新时空高一数学在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,角BAD=90度,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA垂直面ABCD,PD与底面成30度角,求异面直线与所成角的余弦值

暑假新时空高一数学在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,角BAD=90度,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA垂直面ABCD,PD与底面成30度角,求异面直线与所成角的余弦值.
暑假新时空高一数学
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,角BAD=90度,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA垂直面ABCD,PD与底面成30度角,求异面直线与所成角的余弦值.

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PA⊥BA,BA⊥AD,所以BA⊥面PAD,所以BA⊥PD.
BA⊥PD,AE⊥PD,所以PD⊥面ABE,所以PD⊥BE.
取AD中点F,连结BF,过F作PD的垂线交PD于G,则
DF = BC,且DF // BC,所以四边形BCDF是平行四边形,BF // CD.
又,显然FG // AE,所以AE与CD所成的角就是∠BFG.
拟用余弦定理计算cos∠BFG.
BD = √2a,FG = a/2,这都是显然可得.
连结AG,只要计算出AG的长,那么BG亦可得.
△AGD中,∠GDA = 30°,AD = 2a,DG = √3a/2,所以用余弦定理可得
BG² = 4a² + 3a²/4 - 2√3a²cos30° = 7a²/4
cos∠BFG = (FG² + BF² - BG²)/(2FG*BF) = √2/4.

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