过抛物线 y^2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点O 是原点,若点A到准线的距离是3,则三角形AOB的面积为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 13:28:56
过抛物线 y^2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点O 是原点,若点A到准线的距离是3,则三角形AOB的面积为?
过抛物线 y^2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点O 是原点,若点A到准线的距离是3,则三角形AOB的面积为?
过抛物线 y^2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点O 是原点,若点A到准线的距离是3,则三角形AOB的面积为?
y^2=4x
=2*2x
F(1,0)
准线方程：x=-1
A(x1,x2)、B(x2,y2)
x1-(-1)=3
x1=2
y1^2=4*2
y1=2√2
A(2,2√2)
AB直线方程：(y-0)/(x-1)=(2√2-0)/(2-1)
y=2√2(x-1)
[2√2(x-1)]^2=4x
8(x^2-2x+1)=4x
2x^2-5x+2=0
(2x-1)(x-2)=0
x=1/2
x=2(A点坐标)
y=2√2(1/2-1)
=-√2
B(1/2,-√2)
O到AB的距离：d=|-2√2|/√[(2√2)^2+(-1)^2]
=2√2/3
|AB|=√((2-1/2)^2+(2√2+√2)^2)
=9/2
S△AOB=1/2|AB|d
=1/2*9/2*2√2/3
=3√2/2
跟你分析下思路吧 由点A到准线的距离是3，求出A点的坐标，应该有2个，任选其一就好，然后就加上交点 能求出直线AB 和B点的坐标 有了O A B三点的坐标 三角形的面积就好求了
由题可知:抛物线的准线x=-1,焦点坐标(1,0), OA=3, 则A点的横坐标为2,代入抛物线方程可求得A纵坐标为+/-2√2, AB直线方程y=2√2x-2√2,y=-2√2x+2√2,代入抛物线方程可得：y^2+√2y+1=0,y^2-√2y+1=0,设AB的纵坐标为y1,y2,则y1+y2=+/-√2, 三角形AOB的面积=1/2OF*(y1+y2)=1/2*1*√2=√2/2...
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由题可知:抛物线的准线x=-1,焦点坐标(1,0), OA=3, 则A点的横坐标为2,代入抛物线方程可求得A纵坐标为+/-2√2, AB直线方程y=2√2x-2√2,y=-2√2x+2√2,代入抛物线方程可得：y^2+√2y+1=0,y^2-√2y+1=0,设AB的纵坐标为y1,y2,则y1+y2=+/-√2, 三角形AOB的面积=1/2OF*(y1+y2)=1/2*1*√2=√2/2
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