双曲线有关的题目①在双曲线y2/12-x²/13的一支上的不同的三个点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3)与焦点F（5,0）的距离成等差数列.（1）试求y1+y3（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求该定点

双曲线有关的题目①在双曲线y2/12-x²/13的一支上的不同的三个点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3)与焦点F（5,0）的距离成等差数列.（1）试求y1+y3（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求该定点
双曲线有关的题目
①在双曲线y2/12-x²/13的一支上的不同的三个点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3)与焦点F（5,0）的距离成等差数列.
（1）试求y1+y3
（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求该定点坐标.
②F1,F2是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,且∠F1PF2=60°,三角形PF1F2面积为12倍根号3,离心率为2,球双曲线标准方程

双曲线有关的题目①在双曲线y2/12-x²/13的一支上的不同的三个点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3)与焦点F（5,0）的距离成等差数列.（1）试求y1+y3（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求该定点
1.以y轴为对称轴 准线则与x轴平行
AF、BF、CF成等差数列就是A、B、C三点到准线距离成等差数列 就是三点到x轴距离成等差数列 所以y1+y3=2y2=12
AC中点为([x1+x3]/2,[y1+y3]/2)=([x1+x3]/2,6)
于是AC垂直平分线为 (y1-y3)(y-6)+(x1-x3)(x-[x1+x3]/2)=0
由于y1方/12-x1方/13=1=y3方/12-x3方/13
所以 12(x1方-x3方)=13(y1方-y3方)=13*12(y1-y3)
于是垂直平分线方程为 (y1-y3)(y-6)+(x1-x3)x-(x1方-x3方)/2=0
=(y1-y3)(y-6)+(x1-x3)x- 13/2 *(y1-y3)
即 0=(y1-y3)(y-6-13/2)+(x1-x3)x
所以必过点 （0,25/2）
2.令PF1=m PF2=n e=2 则
由第一定义 m-n=2a=c
三角形面积 mn*根号3=48根号3 mn=48
又由余弦定理 m方+n方-mn=4c方=m方+n方-2mn+48=48+c方
c=4 a=2 b方=12
于是 解得 x^2/4-y^2/12=1

1.
(1)双曲线x²/13-y²/12=-1--->a=2√3，c=5
--->离心率e=c/a=5√3/6，上准线方程：y=a²/c=12/5
∵|FA|=e(y1-a²/c)=ey1-a，|FB|=ey2-a，|FC|=ey3-a
|FA|、|FB|、|FC|成等差数列--->|FA|+|FC|=2|FB|

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1.
(1)双曲线x²/13-y²/12=-1--->a=2√3，c=5
--->离心率e=c/a=5√3/6，上准线方程：y=a²/c=12/5
∵|FA|=e(y1-a²/c)=ey1-a，|FB|=ey2-a，|FC|=ey3-a
|FA|、|FB|、|FC|成等差数列--->|FA|+|FC|=2|FB|
--->(ey1-a)+(ey3-a)=2(ey2-a)--->y1+y3=2y2=12
(2)AC的中点M，xM=(x1+x3)/2，yM=(y1+y3)/2 = 6
x1²/13-y1²/12=-1，x3²/13-y3²/12=-1
相减：(x1+x3)(x1-x3)/13-(y1+y3)(y1-y3)/12=0
--->AC的斜率k =(y1-y3)/(x1-x3)=12(x1+x3)/13(y1+y3)=2xM/13
--->xM/k=13/2
--->AC垂直平分线方程：y-yM = (-1/k)(x-xM)
--->y-6 = -x/k + 13/2，令x=0--->y=25/2
--->AC的垂直平分线经过定点(0,25/2)
2.
S△F1PF2=1/2*PF1*PF2*sin60=12 （正弦面积公式）
求得PF1*PF2=48
cos60=（PF1^2+PF2^2-4*C^2）/(2*PF1*PF2) （余弦定理）
PF1-PF2的绝对值=2a
两边平方，
求得：
PF1^2+PF2^2=4*a^2+96
离心率e=c/a=2
两边平方得：
c^2/a^2=4
联立求得a^2=4 b^=12
x^2/4-y^2/12=1

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