数学归纳法证明棣莫弗公式.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 05:36:34
数学归纳法证明棣莫弗公式.
数学归纳法证明棣莫弗公式.
数学归纳法证明棣莫弗公式.
根据两复数相乘的公式,设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x')
则Z*Z'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))
令Z=Z',得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)
继续用Z乘这个式子,得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)
设当n=k-1时,有Z^n=r^(k-1)(cos (k-1)x+isin(k-1)x)
则n=k时
Z^n=r^(k-1)(cos (k-1)x+isin(k-1)x)×r(cos x+isin x)
=r^k[cos (k-1)xcos x-sin(k-1)xsin x+i﹙sin(k-1)xcos x+sin xcos (k-1)x﹚]
=r^k(cos kx+isinkx),也成立
∴n∈N,Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
或者不用数学归纳法,可以这样证明:
引入欧拉公式:e^ix = cosx + isinx
将e^t,sint ,cost 分别展开为泰勒级数:
e^t = 1 + t + t^2/2!+ t^3/3!+ …… + t^n/n!+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ,可得欧拉公式
应用欧拉公式,(cosx+isinx)^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
设复数z=r(cosa+isina),r>0,n∈N﹢.则z^n=r^n﹙cosna+isinna﹚被称之为棣莫弗公式.
我们用数学归纳法来证明。(注意,我们要用i²=-1这个基本定义。)
n=1时,有z=r(cosa+isina),————————①
设n=k时命题成立,即z^k=r^k﹙coska+isinka﹚,
当n=k+1时,z^(k+1)=r^...
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设复数z=r(cosa+isina),r>0,n∈N﹢.则z^n=r^n﹙cosna+isinna﹚被称之为棣莫弗公式.
我们用数学归纳法来证明。(注意,我们要用i²=-1这个基本定义。)
n=1时,有z=r(cosa+isina),————————①
设n=k时命题成立,即z^k=r^k﹙coska+isinka﹚,
当n=k+1时,z^(k+1)=r^k·r(coska+isinka)(cosa+isina)
=r^(k+1)﹛﹙coskacosa-sinkasina﹚+i﹙sinkacosa+coskasina﹚﹜
=r^(k+1)﹛cos(k+1)a+isin(k+1)a﹜,——————②
因为n是任意的正整数,所以由以上①②两步,可以断言:
命题得证。
收起
欧拉公式:e^ix = cosx + isinx ;
(cosx+isinx)^n = (e^ix)n
=e^inx
用nx替换欧拉公式中的x,即可得
e^inx =cosnx+isin(nx)
从而
(cosx+isinx)^n=cosnx+isin(nx)