怎么证明根号2是无理数RT,要说出为什么,我可能不懂.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 03:35:36
怎么证明根号2是无理数RT,要说出为什么,我可能不懂.
怎么证明根号2是无理数
RT,要说出为什么,我可能不懂.
怎么证明根号2是无理数RT,要说出为什么,我可能不懂.
反证法如下：
假如根号2是有理数,那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示,也就是m、n的最大公约数是1
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2,所以m^2是偶数
偶数的平方一定是偶数,反之亦然,若一个偶数是完全平方数,那它的平方根也一定是偶数,所以m是偶数
假设m=2k,k是整数.那么2*n^2=(2k)^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2,与上面同理
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数,那么m/n就不是最简分数,它们的最大公约数就不是1,至少2也是它们的公约数,很显然2>1,与原题设的1是它们的最大公约数矛盾
故根号2是无理数
提高一下,如何证明根号3也是无理数呢?楼主自己去考虑
无理数时指无限不循环小数，如果时有理数，可以写成分母形式，根号二写不了咯，所以就是无理数
此题可用反证法进行证明，具体证明过程如下：
假设根号2是有理数，则根号2可以表示为一个分数，因为任何一个有理数都可以表示为分数形式，不妨设根号2=A/B，其中A、B都是正整数，且为最简，即不能再约分（即A、B只能一个为奇数，一个为偶数），很显然，B≠1；
则两边分别平方，可得2=A²/B²
即A²可被B²整除，分两种情况考虑
...
全部展开
此题可用反证法进行证明，具体证明过程如下：
假设根号2是有理数，则根号2可以表示为一个分数，因为任何一个有理数都可以表示为分数形式，不妨设根号2=A/B，其中A、B都是正整数，且为最简，即不能再约分（即A、B只能一个为奇数，一个为偶数），很显然，B≠1；
则两边分别平方，可得2=A²/B²
即A²可被B²整除，分两种情况考虑
1、A为奇数、B为偶数，此时A²仍为奇数、B²仍为偶数，这时A²显然不能被B²整除，即这种情况不满足题意；
2、A为偶数、B为奇数，此时A能被2整除，则A²能被4整除，则A²/2仍为偶数，而根据假设A²/2=B²，此时B²应为奇数；但该情况时B为奇数，B²则也为奇数，即不满足题意。
综合考虑，由假设得出的结论均存在矛盾，则证明假设错误，原命题正确。
即根号2为无理数是正确的。
收起