怎么证明根号三是无理数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 03:18:34
怎么证明根号三是无理数
怎么证明根号三是无理数
怎么证明根号三是无理数
1、明白无理数定义：无限不循环小数；
2、设其值为x,则1＜x＜2,无论末尾1~9,其平方都不可能为0,
所以,x必为无限小数；
3、所有无限循环小数(纯循环和混循环两种）都可化为分数形式（小学就学过了）；
4、x不能化为分数形式：
（反证法：若x=p/q,p,q互质,则p平方与q平方互质,与x平方=(p平方) /(q平方),矛盾）；
综合以上4点,x必为无限不循环小数……
这里有一个数论基础,“苦p,q互质,则p平方与q平方互质”,也是常识了,
证明也很简单的...
这个的证明其实很简单。
因为由题意得x^2-3=0
由于x^2-3=0是关于x的一元多项式。
所以如果x的解是有理数成立，那么x=+1或者x=-1与题意不符。所以√3是无理数。
解法2：如果√3是有理数，那么有
√3=p/q ...
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这个的证明其实很简单。
因为由题意得x^2-3=0
由于x^2-3=0是关于x的一元多项式。
所以如果x的解是有理数成立，那么x=+1或者x=-1与题意不符。所以√3是无理数。
解法2：如果√3是有理数，那么有
√3=p/q (p,q为整数。）
p/q为最简形式。
那么有3=p^2/q^2
3q^2=p^2
左边3q^2一定是3的倍数，那么右边p^2一定是3的倍数。
因为p为整数。所以，p如果不是3的倍数，则有p^2不是3的倍数，所以p是3的倍数。
如果p是3的倍数，那么q^2也是3的倍数,同理可推得q是3的倍数，
那么p/q不是最简形式，与题意不相符。
所以√3是无理数.
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