数集A满足:若a属于A,a≠1,则1-a分之一属于A.证明：集合A中至少有三个不同的元素 要证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:48:43
数集A满足:若a属于A,a≠1,则1-a分之一属于A.证明：集合A中至少有三个不同的元素 要证明
数集A满足:若a属于A,a≠1,则1-a分之一属于A.证明：集合A中至少有三个不同的元素 要证明
数集A满足:若a属于A,a≠1,则1-a分之一属于A.证明：集合A中至少有三个不同的元素 要证明
因为A是数集,所以A不为空
由题知,
a∈A,a≠1
则1/(1-a)∈A
若A为单元素集{a}
则a=1/(1-a) ,即a²-a+1=0,无解
所以A不为单元素集
若A为双元素集{a,1/(1-a)}
则由1/(1-a)∈A,1/(1-a)≠1
知(-1+a)/a∈A
即a=(-1+a)/a,即a²-a+1=0,无解
所以,A不为双元素集
若A为三元素集
A{a,1/(1-a),(-1+a)/a}
由(-1+a)/a∈A,(-1+a)/a≠1
知a∈A,成立
如{2,-1,1/2}
综上所述,集合A中至少有三个不同的元素
如果只有两个元素, 设为a与1/(1-a), 由于1/(1-a)属于A, 所以1/[1-1/(1-a)]=(a-1)/a属于A, 则(a-1)/a=1/(1-a)或者a, 若(a-1)/a=1/(1-a), 即a^2-a+1=0, 但方程没有实数解, 即这样的a是不存在的; 若(a-1)/a=a即a^2-a+1=0, 同理这样的a不存在. 因此, 最初的假设不成立. 所以A中至少有三个不同的元素....
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如果只有两个元素, 设为a与1/(1-a), 由于1/(1-a)属于A, 所以1/[1-1/(1-a)]=(a-1)/a属于A, 则(a-1)/a=1/(1-a)或者a, 若(a-1)/a=1/(1-a), 即a^2-a+1=0, 但方程没有实数解, 即这样的a是不存在的; 若(a-1)/a=a即a^2-a+1=0, 同理这样的a不存在. 因此, 最初的假设不成立. 所以A中至少有三个不同的元素.
考虑的不全面, 还是及时雨全面！
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